Pregunta 5. Opción B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Ordinaria 2026

Pregunta 5. Opción B.

Un estudio sociológico analiza el gasto mensual en alquiler de las personas jóvenes (en €). Se asume que ese gasto sigue una distribución normal, con una desviación típica de 150 €.

a)

Si se quiere estimar el gasto medio mensual en alquiler de las personas jóvenes, ¿cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para que el error de estimación máximo sea de 20 €, con un nivel de confianza del 95%? (1 punto)

b)

En la misma población se tomó una muestra aleatoria de 900 personas jóvenes y se obtuvo un intervalo de confianza al 90% para el gasto medio mensual que resultó ser $(741.77, 758.23)$. ¿Cuál fue el gasto medio mensual obtenido en esta muestra de 900 personas? (0.5 puntos)

c)

Se realizó una nueva encuesta con un tamaño muestral mucho mayor que el del apartado anterior. Si se determina el intervalo de confianza al nivel del 90%, ¿el error de estimación será mayor o menor que en el caso anterior? ¿El error dependerá del valor de la media muestral $\bar{x}$ que se obtenga? Explica razonadamente tu respuesta. (1 punto)

Menor

Mayor

No

Sí

Información de la prueba:

Algunos valores de la función de distribución $F$ de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1.28) = 0.90$, $F(1.64) = 0.95$, $F(1.96) = 0.975$, $F(2.33) = 0.99$ y $F(2.58) = 0.995$.

Expresión del intervalo de confianza, al nivel de confianza $(1-\alpha)100\%$, para la media poblacional de una variable con distribución normal de varianza conocida, a partir de una muestra de tamaño $n$:$$\left(\bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \quad \text{con } F(z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2.$$