Examen de Matemàtiques URV 2023 · Curs 2023-2024

Es consideren les matrius $A$ i $B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$

Determineu valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ per tal que es compleixin cadascuna de les condicions següents:

a)

$a =$

$b =$

b)

$a =$

$b =$

c)

$a =$

$b =$

d)

$a =$

$b =$

Siguin els subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$ definits per:

$$E = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + t = y, \; x + y = z\}$$$$F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + t = 2y, \; 2x + t = z\}$$

a)

Calculeu una base per a cadascun dels subespais $E$ i $F$.

b)

Trobeu una base del subespai intersecció $E \cap F$.

c)

Determineu una base del subespai suma $E + F$.

Exercici 3. Diagonalització segons un paràmetre

Discutiu la diagonalització de la següent matriu en funció del paràmetre real $a$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$