Examen de Matemàtiques URV 2020 · Curs 2020-2021

Exercici 1. Subespais vectorials a R4

Considereu els subespais de $\mathbb{R}^4$ definits a continuació:

$$E = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle, \text{ on } v_1 = (1, 2, 3, 2), v_2 = (2, 1, 3, 1) \text{ i } v_3 = (1, 3, 4, 3).$$

$$F = \left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4: x + 2y + z + 5t = 0 \text{ i } 3x + 6y + z + 9t = 0\right\}.$$

a.

Trobeu una base del subespai $E$.

b.

Trobeu una base del subespai $F$.

c.

Trobeu una base del subespai intersecció $E \cap F$.

d.

Determineu quina és la dimensió del subespai suma $E + F$.

e.

Comproveu que el conjunt de vectors $\{v_1, v_2, u\}$, amb $u = (2, 0, 3, -1)$, constitueix una base de $E + F$.

Exercici 2. Canvi de base d'una aplicació lineal

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ una aplicació lineal que, prenent com a base de sortida la base canònica $\mathcal{C} = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ i com a base d'arribada $\mathcal{B} = \{(-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1)\}$, té per matriu associada:

$$A = M_{\mathcal{C} \to \mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 2 \\ -2 & 2 & 0 \\ 4 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

Calculeu la matriu associada a $f$ prenent ara $\mathcal{B}$ com a base de sortida i $\mathcal{C}$ com a base d'arribada, és a dir, $M_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}}(f)$.

Exercici 3. Diagonalització d'una matriu amb paràmetre

Estudieu la diagonalització de la següent matriu segons els diferents valors del paràmetre real $a$:

$$A = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$