Exercici 3 · Matemàtiques URV 2020

Valors propis de la matriu A (en funció d'a)

Solución: $\lambda_1 = a$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = -2$

Valors de a per als quals la matriu A és diagonalitzable

Solución: $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ / $a \neq -2$

Justificació detallada dels casos (valors de a, multiplicitats algebraiques i geomètriques)

Solución: Cas 1 ($a \neq 1$ i $a \neq -2$): 3 valors propis diferents, és diagonalitzable. Cas 2 ($a = 1$): $m_a(1) = 2$, $m_g(1) = 3 - \mathrm{rg}(A - I) = 3 - 1 = 2 = m_a(1)$, és diagonalitzable. Cas 3 ($a = -2$): $m_a(-2) = 2$, $m_g(-2) = 3 - \mathrm{rg}(A + 2I) = 3 - 2 = 1 < m_a(-2)$, no és diagonalitzable.