Examen de Física I URV 2021 · Recull d'exàmens de : Mecànica i Oscil·lacions

1. Problema (Prova 07/04/10, 10 punts). Oscil·lador forçat i esmorteït

Un cos de massa $m = 100\text{ g}$ està acoblat a una molla de constant elàstica $k = 800\text{ N/m}$ immers en un medi viscós. El sistema es troba sotmès a una força externa periòdica de tipus sinusoïdal amb una amplitud d'$1\text{ N}$ i una freqüència de $10\text{ Hz}$. Un cop assolit el règim estacionari, l'amplitud del moviment observat és de $2\text{ mm}$. Calculeu:

a)

El valor que té el coeficient d'esmorteïment $b$ del medi.

b)

Té sentit parlar de ressonància en aquest sistema? En cas afirmatiu, indiqueu quina condició s'hauria de donar i determineu quina seria l'amplitud de les oscil·lacions en la freqüència de ressonància en amplitud.

Sí

No

Problema (Parcial Nov 2021, 5 punts). Potencial interatòmic molecular

Considerem l'energia potencial d'interacció entre dos àtoms d'una molècula diatòmica com a funció de la distància interatòmica $x \ge 0$ descrita pel potencial:

$$E_p(x) = \frac{a}{x^2} - \frac{b}{x}$$

on $a$ i $b$ són dues constants reals estrictament positives.

a)

Trobeu l'expressió del camp de forces associat, indiqueu les dimensions mecàniques de les constants $a$ i $b$, i determineu la distància interatòmica $x$ en la qual l'acceleració que experimenten els àtoms és màxima.

b)

Feu una representació esquemàtica de la corba $E_p(x)$ per a $x \ge 0$ (talls amb els eixos, màxims, mínims i punts d'inflexió).

c)

Quina és l'energia mínima que pot tenir emmagatzemada aquesta molècula? I l'energia potencial màxima?

d)

Suposem que la molècula es troba en un estat lligat excitat d'energia total $E = -\frac{b^2}{8a}$. Quina ha de ser l'energia mínima d'un fotó incident capaç de dissociar la molècula (trencar l'enllaç químic)?

e)

Si l'energia mecànica total és $E = -\frac{b^2}{10a}$, descriviu el tipus de moviment que realitzarà la molècula i determineu el rang espacial (zona d'oscil·lació) en què té lloc.

Qüestió 1 (Parcial Nov 2021, 2,5 punts). Radi de curvatura

En un instant concret, el mòdul de la velocitat d'una partícula és $v = 25\text{ m/s}$ i el mòdul de la seva acceleració total és $a = 2\text{ m/s}^2$. Si en aquest instant precís l'angle format pels vectors velocitat i acceleració és de $30^\circ$, determineu el radi de curvatura de la trajectòria en aquesta posició.

Problema (Oscil·lador). Amplitud, dissipació i ressonància

Un sistema oscil·lant constituït per una massa de $100\text{ g}$ i una molla de constant recuperadora $10\text{ N/m}$ es mou dins d'un medi amb fricció viscosa. Al cap d'un interval de $20\text{ s}$, s'aprecia que l'amplitud de les oscil·lacions s'ha reduït en un $30\text{ \%}$. Es demana:

a.

Trobar el valor del coeficient d'esmorteïment $b$.

b.

Calcular quant de temps haurà de transcórrer perquè el sistema dissipi la meitat de la seva energia mecànica inicial.

c.

Si apliquem a l'oscil·lador una força externa periòdica $F(t) = F_0\cos(\omega t)$ amb amplitud $F_0 = 1\text{ N}$ i freqüència $f = 1\text{ Hz}$, quina serà l'amplitud de l'oscil·lació en estat estacionari?

d.

Seria possible aconseguir el fenomen de ressonància en velocitat emprant una força de la forma $F(t) = F_0\cos(\omega t)$? En cas afirmatiu, com s'aconseguiria? I si la força externa aplicada fos constant en el temps, seria possible obtenir ressonància en velocitat? Raoneu les respostes.

Problema (Oscil·lador esmorteït, 10 punts). Càlcul de k, b i ressonància

Una partícula de massa $400\text{ g}$ descriu un moviment oscil·latori esmorteït amb una freqüència d'oscil·lació de $10\text{ Hz}$. S'observa experimentalment que al cap de $10\text{ s}$ l'amplitud s'ha reduït en un $25\text{ \%}$ respecte al seu valor inicial. Determineu:

a.

La constant elàstica $k$ i el coeficient d'esmorteïment $b$. [4 punts]

b.

El temps necessari perquè l'amplitud quedi reduïda a l'$1\text{ \%}$ del seu valor original. [3 punts]

c.

Si fem actuar sobre el sistema una força externa harmònica d'amplitud $1\text{ N}$, és possible aconseguir ressonància en velocitat? En cas afirmatiu, com s'aconseguiria i quin valor tindria l'amplitud de velocitat màxima? [3 punts]

6. P3. Oscil·lador harmònic simple

Un cos de massa $2\text{ kg}$ oscil·la suspès d'una molla de constant elàstica $4\text{ N/m}$. Quan l'objecte creua la posició d'equilibri, la seva velocitat és de $8\text{ m/s}$. Calculeu:

a)

b)

c)

d)

P4. Oscil·lador esmorteït i forçat

Un sistema oscil·lant esmorteït està format per una massa de $3\text{ kg}$ acoblada a una molla de constant $120\text{ N/m}$. El paràmetre d'esmorteïment és $\gamma = 2\text{ s}^{-1}$.

a)

Trobeu la freqüència de les oscil·lacions esmorteïdes i el factor de qualitat $Q$ del sistema. Indiqueu justificadament quin tipus d'esmorteïment presenta. [0,75P]

b)

Quant de temps ha de passar perquè l'amplitud de les oscil·lacions es redueixi a la meitat del seu valor inicial? [0,5P]

c)

Suposem ara que apliquem a l'oscil·lador una força impulsora exterior $F(t) = 20\cos(6t)\text{ (N)}$. Calculeu l'amplitud de l'oscil·lació en règim estacionari i el defasatge de $x(t)$ respecte de la força aplicada. [0,75P]

d)

Quin valor hauria de tenir la massa de l'oscil·lador perquè la força $F(t) = 20\cos(6t)$ provoqués ressonància en l'amplitud (mantenint $\gamma = 2\text{ s}^{-1}$)? [0,5P]

Problema (Prova 17/04/13, 10 punts). Oscil·lacions esmorteïdes i forçades

Una massa de $2\text{ kg}$ es troba unida a una molla de constant elàstica $8\text{ N/m}$. El sistema es troba submergit en un fluid viscós de manera que, després de transcórrer $20\text{ s}$, l'amplitud del moviment oscil·latori s'ha reduït a una quarta part del seu valor inicial. Determineu:

a)

El coeficient d'esmorteïment $b$. [2 punts]

b)

La freqüència angular (pulsació) de les oscil·lacions esmorteïdes. [2 punts]

c)

Si fem actuar sobre aquest mateix oscil·lador una força periòdica externa $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ amb amplitud $F_0 = 2\text{ N}$ i freqüència $f = 1\text{ Hz}$, quina serà l'amplitud de les oscil·lacions en el règim estacionari? [3 punts]

d)

Com es podria assolir la ressonància en velocitat emprant una força impulsora del mateix tipus que a l'apartat anterior? Quina amplitud tindria la velocitat en condicions de ressonància? [3 punts]

Problema P-D (Recuperació 2019-2020). Oscil·lador esmorteït i forçat

Una partícula de massa $150\text{ g}$ descriu un moviment oscil·latori en el si d'un fluid viscós. La freqüència de les oscil·lacions esmorteïdes és de $12\text{ Hz}$. S'observa que en un lapse de temps de $3\text{ s}$ l'amplitud es redueix en un $15\,\%$. Es demana:

a)

Trobar la constant elàstica $K$ de l'oscil·lador i el coeficient d'esmorteïment $b$.

b)

El temps que haurà de transcórrer perquè es dissipi una quarta part de l'energia total de l'oscil·lador.

c)

Si apliquem sobre el sistema una força externa impulsora $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ amb amplitud $F_0 = 2\text{ N}$ i freqüència $f = 4\text{ Hz}$, determineu l'amplitud de la velocitat en l'estat estacionari.

10 Qüestió Q2-B (Recuperació 2019-2020). Gravitació i pes en òrbita

Un satèl·lit artificial es troba descrivint una òrbita circular al voltant de la Terra de radi orbital igual a tres vegades el radi terrestre ($r = 3R_T$, mesurat des del centre de la Terra). Si a la superfície de la Terra el satèl·lit té un pes de $3P\text{ kg}$, determineu el pes d'aquest satèl·lit quan es troba en la seva òrbita.

kg

11 Qüestió D (Recuperació 2019-2020). Anàlisi de corba d'energia potencial

La gràfica següent mostra el perfil de l'energia potencial molecular $U(x)$ en funció de la coordenada de posició $x$ (corba de doble pou):

Si la molècula té una energia mecànica total fixada en el valor $E = E_2$, analitzeu detalladament quin tipus de comportament físic pot desenvolupar. Descriviu raonadament el tipus de moviment, l'evolució del mòdul de la velocitat i el caràcter de la força conservativa que actua sobre la partícula al llarg de la trajectòria.