Examen de Análisis Matemático I URV 2021 · Segundo Parcial - Noviembre 2021

Problema 1. Dominio y función inversa

Considere la función real definida mediante la expresión:$$f(x) = \frac{\ln 2}{\ln\left(\frac{1}{x} - 1\right)}$$

a)

Determine su dominio de definición.

b)

Estudie si admite función inversa $f^{-1}$ y, en caso afirmativo, halle su expresión analítica.

Problema 2. Cálculo de un límite

Halle el valor del siguiente límite lateral:$$\lim_{x \to 2^+} (3 - x)^{\frac{1}{x-2}}$$

Problema 3. Estudio de discontinuidades

Clasifique y describa los tipos de discontinuidades que presenta la función:$$f(x) = \frac{x - 1}{5^{\frac{1}{x}} + 5^{\frac{x}{x-1}}}$$

1.

2.

Problema 4. Continuidad con parámetros

Considere la función real dada a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{1 + x^2} & \text{si } x \le 1 \\[8pt] a + bx & \text{si } 1 < x \le 2 \\[8pt] x^2 + a & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Calcule los valores de las constantes reales $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$.