Examen de Matemáticas I URV 2017 · final - Curs 2017-18 (1a convocatòria)

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

Exercici 1.1 [3 punts]. Límit d'una funció

Trobeu el valor del següent límit:

$$\lim_{x\to 0} \left( \frac{3}{2x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)$$

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

Exercici 1.2 (3 punts). Solucions d'un sistema d'equacions

Considereu el sistema d'equacions lineals següent:

$$\begin{cases} 3x + 2y + z = 0 \\ x + y - z = 1 \end{cases}$$

Exercici 1.3 (3 punts). Classificació d'un sistema homogeni

Un sistema d'equacions lineals homogeni és sempre:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

La matriu inversa de $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ és:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

El valor de l'àrea compresa entre la gràfica de la funció $f(x) = e^{3x} + 2x^3 + 1$ i l'eix d'abscisses en l'interval $[0, 1]$ és:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

Si considerem un conjunt de vectors $\{u, v, w\}$ que constitueix una base de l'espai $\mathbb{R}^3$, aleshores:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$, es tracta d'una matriu:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

La derivada de la funció $f(x) = \dfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$ és:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

Tenint en compte els vectors $v_1 = (1, 2, 3, 7)$ i $v_2 = (1, -1, 0, 9)$:

Exercici 1 (30 punts)

Test de 10 qüestions d'opció múltiple. Cada resposta correcta suma 3 punts, cada errada resta 1,5 punts, i les respostes en blanc no penalitzen. La nota total de l'exercici no serà inferior a zero.

La funció $F(x) = \dfrac{e^{2x}}{x - 1}$ és una primitiva de la funció:

Exercici 2 (35 punts). Estudi de funció i recta tangent

Considereu la funció $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{x - 1}\right)$:

a.

Trobeu la seva funció derivada.

c.

Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

Exercici 2 (35 punts). Estudi de funció i recta tangent

Considereu la funció $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{x - 1}\right)$:

b.

Determineu els màxims i mínims relatius de la funció, en cas que n'hi hagi.

No

Sí

Exercici 3 (35 punts). Discussió i resolució d'un sistema lineal

Considereu el següent sistema d'equacions lineals depenent del paràmetre $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} 2x - 5y + z = a - 3 \\ 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + az = 3 \end{cases}$$

a.

Discutiu el sistema segons els diferents valors del paràmetre real $a$.

b.

Resoleu el sistema per al cas particular $a = 0$.