Examen de Matemáticas I URV 2017 · final. 2a convocatòria, curs 2017-18

Exercici 1 [35 punts]. Discussió i resolució d'un sistema lineal amb paràmetre

Es considera el sistema d'equacions lineals següent depenent del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} (a - 4)x - 3y + z = -2 \\ (a - 3)x + 5z = 1 \\ -x + ay + 3z = a - 1 \end{cases}$$

a.

Classifiqueu el sistema en funció dels diferents valors del paràmetre $a$ [20 punts].

Menor: $a_1 =$

Major: $a_2 =$

b.

Trobeu la solució del sistema quan $a = 1$ [15 punts].

$x =$

$y =$

$z =$

Exercici 2 (40 punts). Estudi d'asímptotes, monotonia i curvatura d'una funció

Es considera la funció real de variable real definida per:

$$f(x) = \frac{x^2 - 2x - 4}{x + 2}$$

a.

Determineu totes les asímptotes de la funció [10 punts].

b.

Trobeu els intervals de creixement i decreixement, així com els màxims i mínims relatius, si en té [15 punts].

c.

Determineu la curvatura (intervals de concavitat i convexitat) i els punts d'inflexió, si en té [15 punts].

Exercici 3 (25 punts). Càlcul d'una integral indefinida

Calculeu la integral indefinida següent:

$$\int (x^2 - 1) \ln(3x)\, dx$$