Examen de Matemáticas I URV 2015 · final (2a convocatòria) - Curs 2015-16

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

a. El valor del límit $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 4x + 5}{(x^2 + 1)e^x}$ és:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

b.

Tenint els vectors $v_1 = (1, 0, -1)$ i $v_2 = (0, 0, 5)$, amb quin vector $v_3$ formen una base de $\mathbb{R}^3$?

()

c.

Si disposem d'un conjunt de 6 vectors a $\mathbb{R}^6$ que formen una base, aleshores:

()

g.

Siguin $v_1 = (1, 2, -3, 0)$, $v_2 = (0, 0, 0, 1)$ i $v_3 = (0, 3, 2, 0)$ vectors ortogonals de $\mathbb{R}^4$. Aleshores:

()

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

d.

L'elasticitat de la funció $f(x) = \frac{e^x}{x}$ al punt $x = 1$ val:

()

h.

La recta tangent a la gràfica de $f(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x+1}}$ en el punt d'abscissa $x = 0$ és:

()

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

e. Un sistema homogeni sempre és:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

f. L'àrea compresa entre les corbes $f(x) = x^2$ i $g(x) = x$ és:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

i. La funció $F(x) = \ln\left(\frac{x}{x^2-1}\right)$ és una primitiva de:

$f(x) = \frac{-(x^2+1)}{x(x^2-1)}$ $f(x) = \frac{1}{x(x^2+1)}$ $f(x) = \frac{-1}{x(x^2-1)}$

Exercici 1 (30 punts). Qüestions tipus test (1 a 10)

Test de 10 preguntes d'opció múltiple (només una opció correcta per qüestió). Resposta correcta: +3 punts; resposta incorrecta: −1,5 punts; resposta en blanc: 0 punts. La nota final d'aquest bloc no pot ser inferior a 0 punts.

Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les 10 qüestions següents:

j. Si en una matriu de dimensions $3 \times 4$ tots els determinants $3 \times 3$ són nuls, del rang d'aquesta matriu es pot afirmar que:

Exercici 2 (35 punts). Extrems i integració d'una funció

Considereu la funció real de variable real definida per:

$$f(x) = (x + 1)e^{2x}$$

a.

Determineu els intervals de creixement i de decreixement de la funció.

b.

Trobeu els seus extrems relatius (màxims i mínims), si n'hi ha.

Exercici 2 (35 punts). Extrems i integració d'una funció

Considereu la funció real de variable real definida per:

$$f(x) = (x + 1)e^{2x}$$

c.

Calculeu l'àrea compresa entre la gràfica de la funció i l'eix d'abscisses a l'interval $[0, 1]$.

Exercici 3 (35 punts). Discussió i resolució d'un sistema lineal

Es considera el sistema d'equacions lineals següent, dependent del paràmetre real $m$:

$$\begin{cases} (m+2)x + (m-1)y - z = 3 \\ mx - y + z = 2 \\ x + my - z = 0 \end{cases}$$

a.

Discutiu el sistema segons els diferents valors del paràmetre $m$.

b.

Resoleu el sistema per al cas particular $m = 1$.

$x =$

$y =$

$z =$