Examen de Aplicaciones Informáticas URL 2015 · Juny

Exercici 1 (20%). Nombres complexos: sistema d'equacions i equació exponencial

Donats $z, w \in \mathbb{C}$ nombres complexos:

a.

(10%) Resoleu el següent sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} z - wi = 7i - 3 \\ 4z + w = 2 - i \end{cases}$$

b.

(10%) Determineu el valor de $z$ que satisfà l'equació:

$$e^{z-i} = \frac{4 + 5i}{1 - i}$$

Exercici 2. Espai de polinomis, bases, canvis de base i ortonormalització

Sigui l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau menor o igual que dos, amb la base estàndard $E = \{1, x, x^2\}$. Donats dos polinomis $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ i $b(x) = b_1 x^2 + b_2 x + b_3$ de $L^3$, es defineix el producte intern:$$\langle a \mid b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

a.

Discutiu si el conjunt de polinomis definits per $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ tals que $a_1 = a_2 = a_3$ constitueix un subespai vectorial de $L^3$.

b.

Demostreu que la família de polinomis $A = \{1 + x, x - x^2, 1 - x^2\}$ forma una base de $L^3$.

Exercici 2. Espai de polinomis, bases, canvis de base i ortonormalització

Sigui l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau menor o igual que dos, amb la base estàndard $E = \{1, x, x^2\}$. Donats dos polinomis $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ i $b(x) = b_1 x^2 + b_2 x + b_3$ de $L^3$, es defineix el producte intern:$$\langle a \mid b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

c)

Trobeu la matriu de canvi de base de $E$ a $A$ ($\Gamma_{AE} = P_{E \to A}$), on $A = \{1 + x, x - x^2, 1 - x^2\}$ i $E = \{1, x, x^2\}$.

d)

Sigui $B = \{1 + x, x, -x + x^2\}$ una base de $L^3$, trobeu la matriu de canvi de base de $B$ a $A$ ($\Gamma_{AB}$).

Exercici 2. Espai de polinomis, bases, canvis de base i ortonormalització

Sigui l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau menor o igual que dos, amb la base estàndard $E = \{1, x, x^2\}$. Donats dos polinomis $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ i $b(x) = b_1 x^2 + b_2 x + b_3$ de $L^3$, es defineix el producte intern:$$\langle a \mid b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

e)

Trobeu la distància entre els polinomis $p(x) = 1 - 2x + 3x^2$ i $g(x) = 1 + x + x^2$.

Exercici 2. Espai de polinomis, bases, canvis de base i ortonormalització

Sigui l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau menor o igual que dos, amb la base estàndard $E = \{1, x, x^2\}$. Donats dos polinomis $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ i $b(x) = b_1 x^2 + b_2 x + b_3$ de $L^3$, es defineix el producte intern:$$\langle a \mid b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

f. (15%) Trobeu una base ortonormal a partir de la base $B = \{1 + x,\, x,\, -x + x^2\}$.

Apliqueu el mètode d'ortonormalització de Gram-Schmidt a la base ordenada $B = \{u_1, u_2, u_3\}$ amb $u_1(x) = 1+x$, $u_2(x) = x$ i $u_3(x) = -x+x^2$ per obtenir la base ortonormal $\{e_1, e_2, e_3\}$. Escriviu cadascun dels polinomis normalitzats:

$e_1(x) =$

$e_2(x) =$

$e_3(x) =$

Exercici 3 (20%). Ajust per mínims quadrats i error quadràtic mig

Determineu la recta de regressió que millor s'ajusta als punts següents i calculeu l'error quadràtic mig associat:

X · Y

0 · 1

1 · 0

2 · 2

3 · 2

$y =$

EQM $=$

Exercici 4 (20%). Espectre i vectors propis normalitzats d'una matriu

Donada la matriu:

$$W = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

a)

(10%) Determineu l'espectre de la matriu $W$.

$\sigma(W) = \{$ $\}$

b)

(10%) Calculeu els seus vectors propis i normalitzeu-los segons el producte escalar habitual.