Exercici 2 - Subespais i bases · Aplicaciones Informáticas URL Juny 2015

Exercici 2. Espai de polinomis, bases, canvis de base i ortonormalització

Sigui l'espai vectorial $L^3$ dels polinomis de grau menor o igual que dos, amb la base estàndard $E = \{1, x, x^2\}$. Donats dos polinomis $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ i $b(x) = b_1 x^2 + b_2 x + b_3$ de $L^3$, es defineix el producte intern:$$\langle a \mid b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

a.

Discutiu si el conjunt de polinomis definits per $a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3$ tals que $a_1 = a_2 = a_3$ constitueix un subespai vectorial de $L^3$.

b.

Demostreu que la família de polinomis $A = \{1 + x, x - x^2, 1 - x^2\}$ forma una base de $L^3$.