Exercici 2 - Canvis de base · Aplicaciones Informáticas URL Juny 2015

Tema: Espais vectorials, bases, coordenades i canvi de base · Del examen Juny (2015)

Enunciado

Exercici 2. Espai de polinomis, bases, canvis de base i ortonormalització

Sigui l'espai vectorial L3L^3 dels polinomis de grau menor o igual que dos, amb la base estàndard E={1,x,x2}E = \{1, x, x^2\}. Donats dos polinomis a(x)=a1x2+a2x+a3a(x) = a_1 x^2 + a_2 x + a_3 i b(x)=b1x2+b2x+b3b(x) = b_1 x^2 + b_2 x + b_3 de L3L^3, es defineix el producte intern:⟨a∣b⟩=a1b1+a2b2+a3b3\langle a \mid b \rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

c)

Trobeu la matriu de canvi de base de EE a AA (ΓAE=PE→A\Gamma_{AE} = P_{E \to A}), on A={1+x,x−x2,1−x2}A = \{1 + x, x - x^2, 1 - x^2\} i E={1,x,x2}E = \{1, x, x^2\}.

d)

Sigui B={1+x,x,−x+x2}B = \{1 + x, x, -x + x^2\} una base de L3L^3, trobeu la matriu de canvi de base de BB a AA (ΓAB\Gamma_{AB}).

Enunciado: Exercici 2 - Canvis de base · Aplicaciones Informáticas URL Juny 2015

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

c) Trobeu la matriu de canvi de base de E a A (Γ_AE = P_{E -> A}): element (1,1)

Solución: 1/2

c) Matriu Γ_AE: element (1,2)

Solución: 1/2

c) Matriu Γ_AE: element (1,3)

Solución: 1/2

c) Matriu Γ_AE: element (2,1)

Solución: -1/2

c) Matriu Γ_AE: element (2,2)

Solución: 1/2

c) Matriu Γ_AE: element (2,3)

Solución: -1/2

c) Matriu Γ_AE: element (3,1)

Solución: 1/2

c) Matriu Γ_AE: element (3,2)

Solución: -1/2

c) Matriu Γ_AE: element (3,3)

Solución: -1/2

d) Matriu de canvi de base de B a A (Γ_AB): element (1,1)

Solución: 1

d) Matriu Γ_AB: element (1,2)

Solución: 1/2

d) Matriu Γ_AB: element (1,3)

Solución: 0

d) Matriu Γ_AB: element (2,1)

Solución: 0

d) Matriu Γ_AB: element (2,2)

Solución: 1/2

d) Matriu Γ_AB: element (2,3)

Solución: -1

d) Matriu Γ_AB: element (3,1)

Solución: 0

d) Matriu Γ_AB: element (3,2)

Solución: -1/2

d) Matriu Γ_AB: element (3,3)

Solución: 0

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