Problema 2 · Álgebra Lineal UPC Juny 2016

Problema 2 (6,5 punts). Producte escalar, ortogonalitat i projecció

Es considera l'aplicació:

$$P_1(t) \times P_1(t) \longrightarrow \mathbb{R}$$

$$(\vec{u}, \vec{v}) \longmapsto \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = u_1 v_1 + k_1 u_1 v_2 + 2 u_2 v_1 + k_2 u_2 v_2$$

on $\vec{u} = u_1 + u_2 t$ i $\vec{v} = v_1 + v_2 t$.

a)

Trobeu per a quins valors de $k_1$ i $k_2$ aquesta aplicació defineix un producte escalar, sabent que la propietat bilineal es satisfà per a qualsevol parell de paràmetres. [1,5 punts]

Per als apartats b) i c), utilitzeu el producte escalar definit per:

$$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = u_1 v_1 + 2 u_1 v_2 + 2 u_2 v_1 + 6 u_2 v_2$$

b)

Sigui $S$ el subespai de $P_1(t)$ generat pel polinomi $\vec{v} = 1 + 2t$. Determineu una base del subespai complementari ortogonal $S^\perp$. [1 punt]

c)

Normalitzeu el polinomi $\vec{u} = 1 - t$ emprant la norma deduïda d'aquest producte escalar. [0,5 punts]

Es canvia d'espai vectorial per als següents apartats. Considereu el subespai $S = \langle(0,1,0,1), (1,-1,0,-1), (-1,3,0,3)\rangle \subset \mathbb{R}^4$ dotat del producte escalar usual:

$$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 + u_4 v_4$$

d)

Obtingueu una base ortogonal del subespai $S$. [1 punt]

e)

Calculeu la millor aproximació del vector $\vec{v} = (1,1,1,1)$ sobre el subespai $S$. [1,5 punts]

f)

Sense calcular l'aproximació de $\vec{w} = (1, 1, -2, 1)$, justifiqueu per què coincideix amb la del vector $\vec{v} = (1, 1, 1, 1)$ sobre $S$. [1 punt]