Examen de Física UPC 2022 · reevaluación (28 de enero de 2022)

Constantes y expresiones suministradas

$k = 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}/\text{A}$

$B_{\text{hilo }\infty} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$, $r = \frac{mv}{qB}$

$\vec{F}_q = q\vec{v} \times \vec{B}$, $\vec{F}_m = I\vec{L} \times \vec{B}$

$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $S_{\text{esfera}} = 4\pi R^2$, $\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}$

Problema 1. Campo y potencial de esfera dieléctrica

Se dispone de una esfera dieléctrica con radio $R = 2\text{ m}$ que alberga una carga $Q = 8\text{ nC}$ distribuida de forma homogénea en todo su volumen. El centro de la esfera coincide con el origen de coordenadas cartesianas, los ejes $x$ e $y$ pertenecen al plano del papel y el eje $z$ apunta hacia afuera. Se definen los puntos $A = (0.8, 0.6, 0)\text{ m}$ y $B = (2.4, -1.8, 0)\text{ m}$ sobre el plano $xy$.

a.

Determinar el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cúbica de $1\text{ m}$ de arista concéntrica con la esfera.

b.

Calcular el vector campo eléctrico en las posiciones $A$ y $B$.

c.

Sabiendo que el potencial eléctrico en el punto $A$ es $+30\text{ V}$, obtener el valor del potencial eléctrico en el punto $B$.

Problema 2. Circuito con condensadores e interruptores

En el circuito mostrado se tienen cuatro condensadores planos inicialmente sin carga, con capacidades $C_1 = 1\ \mu\text{F}$, $C_2 = 3\ \mu\text{F}$, $C_3 = 2\ \mu\text{F}$ y $C_4 = 4\ \mu\text{F}$, conectados a una fuente de fem $V = 13.5\ \text{V}$ mediante dos interruptores, $s_1$ y $s_2$.

Manteniedo el interruptor $s_2$ abierto, se cierra $s_1$ para cargar los condensadores $C_2$, $C_3$ y $C_4$.

a)

Calcular el valor de la carga que adquiere cada uno de los condensadores $C_2$, $C_3$ y $C_4$.

b)

Una vez alcanzado el estado de carga, se abre $s_1$ y acto seguido se cierra $s_2$, esperando hasta que se restablezca el equilibrio electrostático. Determinar la carga que pierde el condensador $C_4$.

Constantes y expresiones suministradas

$k = 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}/\text{A}$

$B_{\text{hilo }\infty} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$, $r = \frac{mv}{qB}$

$\vec{F}_q = q\vec{v} \times \vec{B}$, $\vec{F}_m = I\vec{L} \times \vec{B}$

$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $S_{\text{esfera}} = 4\pi R^2$, $\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}$

Problema 3. Campo magnético de dos conductores rectilíneos

Dos conductores rectilíneos e indefinidos discurren paralelamente al eje $x$ y permanecen fijos. El primer conductor pasa por el punto $A = (0, -0.04, 0)\text{ m}$ y transporta una corriente de $I_1 = 100\text{ A}$; el segundo atraviesa la posición $C = (0, +0.04, 0)\text{ m}$ con una intensidad $I_2 = 200\text{ A}$. Ambas corrientes circulan en el sentido negativo del eje $x$. Se considera el punto $P = (0, 0, 0.03)\text{ m}$ sobre el eje $z$.

a)

Demostrar que el vector campo magnético resultante en el punto $P$ es:

$$\vec{B}_P = (0, 7.2, 3.2) \times 10^{-4}\text{ T}$$

Calcula individualmente los vectores campo magnético creados por cada conductor en el punto $P$ para justificar la superposición:

b)

Determinar el vector aceleración $\vec{a}$ que experimenta una partícula con carga $q = 1\text{ nC}$ y masa $m = 10^{-8}\text{ kg}$ en el instante en que cruza la posición $P$ con velocidad $\vec{v} = 10^6\hat{\imath}\text{ m/s}$.

Constantes y expresiones suministradas

$k = 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}/\text{A}$

$B_{\text{hilo }\infty} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$, $r = \frac{mv}{qB}$

$\vec{F}_q = q\vec{v} \times \vec{B}$, $\vec{F}_m = I\vec{L} \times \vec{B}$

$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $S_{\text{esfera}} = 4\pi R^2$, $\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}$

Problema 4. Inducción electromagnética en espira triangular

Una espira con forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $a = 3\text{ m}$ y $b = 4\text{ m}$ posee una resistencia de $1\ \Omega$. La espira penetra con velocidad constante $\vec{v} = 1\hat{i}\text{ m/s}$ en una zona del espacio donde existe un campo magnético uniforme $\vec{B} = 3\hat{k}\text{ T}$.

Para que la velocidad se mantenga uniforme, es preciso aplicar una fuerza variable en el sentido positivo del eje $x$. En el instante inicial $t = 0$, la espira se sitúa en la posición indicada en la figura (su vértice delantero está a punto de entrar en la región con campo).

Para el instante $t = 1\text{ s}$:

a)

Demostrar que la intensidad inducida es de $4\text{ A}$ y justificar su sentido de circulación.

b)

Determinar el módulo de la fuerza requerida para mantener la espira a velocidad constante.