Problema 2 · Representación arquitectónica I UPC 2022

2. Tema 1/3. Paraboloide Hiperbòlic definit per un quadrilàter (apartats a, b, c, d, e, f)

Solución: a. Modelat del paraboloide hiperbòlic: La superfície reglada doblement reglada es construeix prenent com a directrius rectilínies oposades els parells de costats del quadrilàter guerx: per exemple $a - d$ i $b - c$ (o bé $a - c$ i $b - d$). En dividir aquests segments en parts proporcionals i unir els punts homòlegs mitjançant rectes generatrius, es genera la xarxa reglada del paraboloide hiperbòlic continguda dins el contorn $a - b - c - d$. b. Paràboles diagonals i límit de la superfície: Les diagonals del quadrilàter guerx són $a - b$ (horitzontal, cota 0) i $c - d$ (vertical, eix de cotes 0 a 5). Els plans verticals i oblics que passen per aquestes diagonals tallen la quàdrica segons dues paràboles diagonals: una de curvatura convexa i una altra de còncava. S'estén el paraboloide hiperbòlic fent que les generatrius recolzin en aquestes dues paràboles fins als extrems $a, b, c, d$, conformant la sella tancada mostrada a la il·lustració. c. Centre (punt de sella): El vèrtex o centre del paraboloide hiperbòlic se situa en el punt mig de la distància mínima entre les dues famílies de generatrius o paràboles principals. Per la simetria de la figura respecte al pla mitjà vertical entre $a$ i $b$, el centre $M$ té de coordenades en planta el punt mig del segment que uneix el punt mig d'$a - b$ amb $c/d$, i la seva cota és la mitjana de les altures corresponents ($z = 2{,}5\text{ m}$). d. Reglades principals: Són les dues generatrius rectilínies que s'intersequen en el vèrtex/centre $M$. Cadascuna pertany a una de les dues famílies reglades i són paral·leles als dos plans directors de la superfície. Es tracen passant per $M$ i recolzant-se sobre les rectes del contorn del quadrilàter. e. Xarxa de reglades equidistants 0,5 m: Es tallen els plans directors mitjançant una sèrie de plans paral·lels separats a intervals regulars de $\Delta = 0{,}5\text{ m}$. Les interseccions d'aquests plans directors amb el quadrilàter determinen les generatrius rectilínies de cadascuna de les dues famílies, formant la quadrícula de regles rectes sobre la làmina corba. f. Paràboles principals (fletxa de 8 m): Els dos plans de simetria són ortogonals entre si i contenen l'eix del paraboloide hiperbòlic (que passa pel centre $M$): un produeix una paràbola amb concavitat cap amunt i l'altre una paràbola amb concavitat cap avall. Per a cadascuna, es pren una extensió simètrica respecte a l'eix tal que la distància vertical o fletxa entre el vèrtex i la corda que uneix els extrems valgui exactament $h = 8\text{ m}$.