Examen de Matemáticas UVIC 2024 · Exemples

Exercici 1. Model polinòmic de població

Es considera que l'evolució de la població dels Estats Units des de l'any 1790 ve descrita pel model polinòmic:

$$P(t) = \frac{11}{2}t^3 + 4200t^2 + 41000t + 3370000$$

on $t$ és el temps transcorregut en anys des de 1790 ($t = 0$ correspondria a l'any 1790).

a)

Estimeu la població dels Estats Units a l'any 1923.

b)

Calculeu la taxa de creixement de la població (és a dir, la derivada respecte al temps) l'any 1923.

c)

Determineu en quin any s'assolirà una taxa de creixement de 7 000 000 d'habitants per any segons aquest model.

Exercici 2. Model exponencial maltusià mitjançant EDO

Es vol modelar el creixement d'una població a partir d'un model maltusià continu donat per l'equació diferencial ordinària:

$$\frac{dP(t)}{dt} = rP(t)$$

Se sap que l'any 1830 ($t = 0$) la població és de $12.9$ milions d'habitants, i que 80 anys després, l'any 1910, la població és de $92.2$ milions d'habitants.

a.

Resoleu simbòlicament l'equació diferencial subjecta a la condició inicial $P(0) = 12.9$. Expresseu la funció $P(t)$ obtinguda:

$P(t) =$

b.

Determineu la constant de creixement $r$ mitjançant la dada poblacional de 1910:

$r =$

c.

Construïu la funció $P(t)$ resultant amb el valor de $r$ incorporat i indiqueu el valor que pren $t$ necessari per avaluar i predir la població a l'any 2000:

$P(t) =$

$t_{\text{any 2000}} =$

Exercici 3. Ajust exponencial per mínims quadrats

Es disposa de les següents dades censals de població al llarg del temps, on $t$ representa els anys des de l'inici de la sèrie i $y$ la població en milions d'habitants:

Temps $t$ (anys)

0

40

70

110

200

Població $y$ (milions)

3.9

12.9

31.4

76.2

248.7

a)

Linealitzeu el model exponencial $y = P_0 e^{kt}$ mitjançant logaritmes i plantegeu el sistema d'equacions sobredeterminat $AX = B$.

b)

Calculeu la solució de mínims quadrats $X = (A^T A)^{-1} A^T B$ per deduir els paràmetres $P_0$ i la taxa $k$.

c)

Dibuixeu en una mateixa figura els punts de dades experimentals i la funció contínua ajustada.