Examen de Matemáticas UVIC 2015 · parcial de Matemàtiques I (Gener 2015)

Exercici 1 (3 punts). Punts crítics i classificació

Trobeu els punts crítics de cadascuna de les funcions següents i determineu-ne la naturalesa (màxims, mínims o punts de sella):

a.

$f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x^2|x - 2|$

Exercici 1 (3 punts). Punts crítics i classificació

Trobeu els punts crítics de cadascuna de les funcions següents i determineu-ne la naturalesa (màxims, mínims o punts de sella):

b.

$f(x, y) = xy^2 + y^3 + x^2 - 4x$

Trobeu tots els punts crítics $(x, y)$ i indiqueu la seva naturalesa (màxim relatiu, mínim relatiu o punt de sella).

$P_1 = ($

$,$

$)$

$P_2 = ($

$,$

$)$

$P_3 = ($

$,$

$)$

Exercici 2 (2 punts). Càlcul d'integrals indefinides

Calculeu les primitives següents:

a.

$$\int \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 2}}\,dx$$

b.

$$\int x\ln\left(\frac{1}{x}\right)\,dx$$

Exercici 3 [2,5 punts]. Càlcul d'integrals definides

Avalueu les integrals definides següents:

a.

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{2\cos x + 1}\,dx$$

b.

$$\int_{-4}^{-2} \frac{x}{x^2 + 2x - 8}\,dx$$

Exercici 4 (2,5 punts). Àrea delimitada per corbes

Calculeu l'àrea de la regió del pla delimitada per les tres corbes següents:

$$y = x^2, \quad y = x, \quad y = 2 - x$$