Examen de Estadística i Optimització UDL 2017 · Parcial Abril 2017

Problema 1 (1.2 punts). Àlgebra matricial i discussió de sistemes lineals

Es considera la següent matriu quadrada d'ordre 4:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & a^2 & a & a^2 \end{pmatrix}$$

on $a \in \mathbb{R}$.

a.

Sigui la matriu $C = (c_{ij}) \in M_4(\mathbb{R})$ expressada com:

$$c_{ij} = \begin{cases} a & \text{si } i + j = 5, \\ 0 & \text{altrament.} \end{cases}$$

Determineu els valors del paràmetre $a$ per als quals les matrius $A$ i $C$ commuten.

b.

Calculeu el determinant de la matriu $A$ i especifiqueu per a quins valors de $a$ s'anul·la.

c.

Estudieu, d'acord amb els diferents valors reals de $a$, el sistema d'equacions lineals $A \cdot X = b$, essent $X^T = (x, y, z, t)$ i $b^T = (1, 1, 1, 1)$.

d.

Trobeu la solució del sistema anterior en el cas particular $a = i \in \mathbb{C}$.

Problema 2 (0.8 punts). Ordre de magnitud asimptòtic i sèries telescòpiques

Es considera la següent sèrie numèrica:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 7n + 12}$$

a.

Justifiqueu si $n^2 + 7n + 12 \in O(n^2)$.

Sí

No

b.

Demostreu que es tracta d'una sèrie telescòpica descomponent el terme general en fraccions simples:

c.

Calculeu els tres primers termes de la successió de sumes parcials $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ i trobeu el valor de la suma de la sèrie:

Problema 3 (0.8 punts). Estadística descriptiva i diagrama de caixa

Un club ciclista registra els quilòmetres recorreguts durant l'últim mes per cadascun dels seus socis. La mostra recollida conté les dades següents:

20 · 30 · 50 · 100 · 130 · 300 · 320 · 350

380 · 420 · 420 · 435 · 620 · 950 · 985

Es demana:

a)

Construïu el gràfic de capsa (box-plot) corresponent. Podeu dibuixar el diagrama i pujar la foto, i indicar els cinc números característics i els valors atípics:

b)

Interpreteu el gràfic elaborat comentant la dispersió, la simetria i l'homogeneïtat que presenten les dades.

c)

Dugueu a terme un estudi de les dades mitjançant el càlcul d'aquells valors representatius que considereu adients.

Problema 4 (1.2 punts). Variables aleatòries discretes i esperança

Es disposa de tres monedes independents $X_1, X_2, X_3$ tals que la probabilitat d'obtenir cara (que representem amb un 1) és un determinat valor $p \in (0,1)$, i s'associa el 0 a la creu (amb probabilitat $1 - p$). Es defineix la variable aleatòria:

$$Y = X_1 + 2X_2 + 3X_3$$

Es demana:

a)

Determineu l'espai mostral (recorregut) de $Y$ i les probabilitats associades a cadascun dels seus valors.

És $Y = 3$ un esdeveniment elemental?

Sí

No

b)

Suposant que en un llançament de les tres monedes s'ha obtingut un valor $Y \ge 3$, calculeu la probabilitat que tant $X_1$ com $X_2$ hagin resultat cara.

c)

Calculeu l'esperança matemàtica de $Y$. Quin valor hauria de prendre el paràmetre $p$ per tal que la mitjana de $Y$ coincideixi amb la mitjana del resultat de llançar un dau equilibrat de sis cares? Per a aquest valor concret de $p$, calculeu la variància $\text{Var}[Y]$.