Problema 4 · Estadística i Optimització UDL 2017

Problema 4 (1.2 punts). Variables aleatòries discretes i esperança

Es disposa de tres monedes independents $X_1, X_2, X_3$ tals que la probabilitat d'obtenir cara (que representem amb un 1) és un determinat valor $p \in (0,1)$, i s'associa el 0 a la creu (amb probabilitat $1 - p$). Es defineix la variable aleatòria:

$$Y = X_1 + 2X_2 + 3X_3$$

Es demana:

a)

Determineu l'espai mostral (recorregut) de $Y$ i les probabilitats associades a cadascun dels seus valors.

És $Y = 3$ un esdeveniment elemental?

Sí

No

b)

Suposant que en un llançament de les tres monedes s'ha obtingut un valor $Y \ge 3$, calculeu la probabilitat que tant $X_1$ com $X_2$ hagin resultat cara.

c)

Calculeu l'esperança matemàtica de $Y$. Quin valor hauria de prendre el paràmetre $p$ per tal que la mitjana de $Y$ coincideixi amb la mitjana del resultat de llançar un dau equilibrat de sis cares? Per a aquest valor concret de $p$, calculeu la variància $\text{Var}[Y]$.