Problema 2 · Estadística i Optimització UDL 2017

Enunciado

Problema 2 (0.8 punts). Ordre de magnitud asimptòtic i sèries telescòpiques

Es considera la següent sèrie numèrica:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 7n + 12}$

Justifiqueu si $n^2 + 7n + 12 \in O(n^2)$ .

Sí

Demostreu que es tracta d'una sèrie telescòpica descomponent el terme general en fraccions simples:

Calculeu els tres primers termes de la successió de sumes parcials $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ i trobeu el valor de la suma de la sèrie:

Enunciado: Problema 2 · Estadística i Optimització UDL 2017

Según los criterios oficiales de corrección

a. Justifiqueu si $n^2 + 7n + 12 \in O(n^2)$ .

Solución: Sí

Justificació mitjançant límits o definició de $n^2 + 7n + 12 \in O(n^2)$

Solución: El límit del quocient quan n tendeix a infinit és 1 (finit i positiu), per tant pertany a O(n^2).

b. Demostreu que es tracta d'una sèrie telescòpica.

Solución: $\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}$

c. Primer terme de la successió de sumes parcials $s_1$ :

Solución: $\frac{1}{20}$ / $0{,}05$

c. Segon terme de la successió de sumes parcials $s_2$ :

Solución: $\frac{1}{12}$ / $0{,}0833$

c. Tercer terme de la successió de sumes parcials $s_3$ :

Solución: $\frac{3}{28}$ / $0{,}1071$

c. Valor de la suma de la sèrie:

Solución: $\frac{1}{4}$ / $0{,}25$

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.