Problema 1 · Estadística i Optimització UDL 2017

Problema 1 (1.2 punts). Àlgebra matricial i discussió de sistemes lineals

Es considera la següent matriu quadrada d'ordre 4:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ a & a^2 & a & a^2 \end{pmatrix}$$

on $a \in \mathbb{R}$.

a.

Sigui la matriu $C = (c_{ij}) \in M_4(\mathbb{R})$ expressada com:

$$c_{ij} = \begin{cases} a & \text{si } i + j = 5, \\ 0 & \text{altrament.} \end{cases}$$

Determineu els valors del paràmetre $a$ per als quals les matrius $A$ i $C$ commuten.

b.

Calculeu el determinant de la matriu $A$ i especifiqueu per a quins valors de $a$ s'anul·la.

c.

Estudieu, d'acord amb els diferents valors reals de $a$, el sistema d'equacions lineals $A \cdot X = b$, essent $X^T = (x, y, z, t)$ i $b^T = (1, 1, 1, 1)$.

d.

Trobeu la solució del sistema anterior en el cas particular $a = i \in \mathbb{C}$.