Problema 1 · Álgebra UDL 2018

Problema 1 [2 punts]. Aplicació entre conjunts de parts

Sigui $E$ un conjunt no buit i considerem l'aplicació:

$\begin{aligned}

f: \mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(E) &\longrightarrow \mathcal{P}(E) \\

(A, B) &\longmapsto A \setminus B

\end{aligned}$

a.

Estudieu detalladament si $f$ és una aplicació injectiva.

b.

Determineu si $f$ és exhaustiva (exhaustivitat o sobrejectivitat).

c.

Trobeu l'antiimatge del conjunt buit, $f^{-1}(\emptyset)$.

Prenent a partir d'ara el conjunt concret $E = \{1, 2, 3\}$:

a.

b.

Calculeu l'antiimatge $f^{-1}(\{2\})$ descrivint tots els seus elements.

c.

Determineu el resultat de la composició $(g \circ f)((\{1, 2\}, \{1\}))$, on $g: \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$ és l'aplicació complementària definida per $g(A) = \overline{A}$. Té sentit definir la composició $f \circ g$? Raoneu la resposta.