Problema 1 · Álgebra UDL 2019

a. Prenent el subconjunt $X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x = 1\}$, determineu la imatge directa $f(X)$.

Solución: $f(X) = \{(t, 1) \in \mathbb{R}^2 : t \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R} \times \{1\}$

b. Calculeu l'antiimatge $f^{-1}(0, 1)$.

Solución: $f^{-1}(0, 1) = \{(1, -1), (-1, 1)\}$

c. Analitzeu justificadament si l'aplicació $f$ és injectiva.

Solución: No

c. Justificació de la injectivitat de $f$:

Solución: No és injectiva perquè $f(1, -1) = f(-1, 1) = (0, 1)$ amb $(1, -1) \neq (-1, 1)$.

d. Comproveu raonadament si $f$ és exhaustiva.

Solución: No

d. Raonament sobre l'exhaustivitat de $f$:

Solución: No és exhaustiva perquè la segona coordenada sempre és $x^2 \ge 0$, per tant punts com $(0, -1)$ no tenen antiimatge.

e. Expressió de la composició $(g \circ f)(x, y)$:

Solución: $3x + 3y + x^4$

e. Discutiu si té sentit plantejar la composició $f \circ g$:

Solución: No té sentit (o no existeix) perquè el codomini de $g$ és $\mathbb{R}$ mentre que el domini de $f$ és $\mathbb{R}^2$.