Problema 2 - Aplicacions · Álgebra UDL 2017

Problema 2 (2 punts). Aplicacions i combinatòria d'assignacions

Disposem d'un clúster amb quatre nodes $N = \{a, b, c, d\}$ i una llista de sis tasques a executar $T = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Considerem el conjunt $\mathcal{F} = \{f: T \to N\}$ de totes les possibles assignacions de tasques a nodes. Considerem l'aplicació:

$$\mathcal{G}: \mathcal{F} \longrightarrow L, \quad f \longmapsto (f(1), f(2), \ldots, f(6))$$

on $L = \{(a_1, a_2, \ldots, a_6): a_i \in N\}$.

a)

Considereu l'aplicació $f \in \mathcal{F}$ definida per:

$$f(1) = b, \quad f(2) = d, \quad f(3) = a, \quad f(4) = c, \quad f(5) = a, \quad f(6) = c$$

Determineu si $f$ és una aplicació injectiva o exhaustiva. Determineu també el valor de $\mathcal{G}(f)$. [0,4 punts]

b)

Doneu un exemple d'aplicació $f \in \mathcal{F}$ que no sigui ni injectiva ni exhaustiva. [0,4 punts]

c)

Determineu l'antiimatge $\mathcal{G}^{-1}(a, a, c, b, c, b)$. Indiqueu quines tasques ha d'executar el node $b$. [0,4 punts]

d)

Demostreu formalment que $\mathcal{G}$ és una aplicació bijectiva. [0,4 punts]

e)

Determineu quants elements té $L$. Quina relació guarda amb el cardinal de $\mathcal{F}$? [0,4 punts]