Examen de Álgebra UDL 2019 · primer parcial novembre 2019

Problema 1. Propietats d'aplicacions i composició [5 punts]

Es considera la funció següent:

$$\begin{aligned} f: \mathbb{R}^2 &\longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ (x, y) &\longmapsto (x + y, x^2) \end{aligned}$$

a)

Prenent el subconjunt $X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x = 1\}$, determineu la imatge directa $f(X)$.

b)

Calculeu l'antiimatge $f^{-1}(0, 1)$.

c)

Analitzeu justificadament si l'aplicació $f$ és injectiva.

Sí

No

d)

Comproveu raonadament si $f$ és exhaustiva.

Sí

No

e)

Definida la funció $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ mitjançant $g(x, y) = 3x + y^2$, trobeu l'expressió de la composició $g \circ f$ i discutiu si té sentit plantejar la composició $f \circ g$.

Problema 2 (5 punts). Estudi de la matriu tridiagonal A_n

Sigui $A_n$ una matriu quadrada de grandària $n \times n$ els coeficients de la qual venen donats per:

$$a_{ij} = \begin{cases} 3 & \text{si } i = j + 1 \text{ o bé } i = j - 1, \\ 0 & \text{altrament.} \end{cases}$$

a)

Trobeu el determinant de la matriu $A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$. Calculeu igualment els determinants de $A_3$ i $A_4$.

b)

Determineu el rang de les matrius $A_2$, $A_3$ i $A_4$.

c)

Formuleu una conjectura sobre el valor del determinant de $A_n$ distingint entre els casos en què $n$ és parell i $n$ és senar.

d)

Obtingueu la matriu inversa de $A_2$ ($A_2^{-1}$). Introduïu els 4 elements de la matriu $\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$:

e)

Doneu l'expressió explícita de la matriu $A_n$ en forma matricial genèrica (descriviu la posició dels seus elements no nuls o la forma de la matriu):