Examen de Álgebra UDL 2018 · Primer parcial de Matemàtiques de la Computació (Novembre 2018)

Problema 1 [2 punts]. Aplicació entre conjunts de parts

Sigui $E$ un conjunt no buit i considerem l'aplicació:

$\begin{aligned}

f: \mathcal{P}(E) \times \mathcal{P}(E) &\longrightarrow \mathcal{P}(E) \\

(A, B) &\longmapsto A \setminus B

\end{aligned}$

a.

Estudieu detalladament si $f$ és una aplicació injectiva.

b.

Determineu si $f$ és exhaustiva (exhaustivitat o sobrejectivitat).

c.

Trobeu l'antiimatge del conjunt buit, $f^{-1}(\emptyset)$.

Prenent a partir d'ara el conjunt concret $E = \{1, 2, 3\}$:

a.

b.

Calculeu l'antiimatge $f^{-1}(\{2\})$ descrivint tots els seus elements.

c.

Determineu el resultat de la composició $(g \circ f)((\{1, 2\}, \{1\}))$, on $g: \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$ és l'aplicació complementària definida per $g(A) = \overline{A}$. Té sentit definir la composició $f \circ g$? Raoneu la resposta.

Problema 2 (2 punts). Matriu paramètrica i discussió de sistema lineal

Donat un paràmetre real $a \in \mathbb{R}$, es defineix la matriu quadrada $A_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ mitjançant la fórmula per als seus coeficients:

$$a_{ij} = \begin{cases} a & \text{si } i + j = n + 1, \\ a^2 & \text{si } i + j = 2n, \\ 1 & \text{altrament.} \end{cases}$$

a)

Escriviu l'expressió explícita de la matriu $A_n$ per a qualsevol dimensió $n$.

b)

Fixant $n = 4$, determineu el rang de la matriu $A_4$ en funció dels valors que prengui el paràmetre $a$.

c)

Té inversa $A_4$ quan $a = 1$?

Sí

No

Considerem tot seguit el sistema d'equacions lineals amb paràmetres reals $a, b \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

d)

Discutiu la compatibilitat del sistema segons els diferents valors de $a$ i $b$.

e)

Resoleu el sistema per a tots els casos en què resulti compatible.