Problema 2 · Álgebra UDL 2018

Tema: Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals · Del examen Primer parcial de Matemàtiques de la Computació (Novembre 2018) (2018)

Enunciado

Problema 2 (2 punts). Matriu paramètrica i discussió de sistema lineal

Donat un paràmetre real a∈Ra \in \mathbb{R}, es defineix la matriu quadrada An∈Mn(R)A_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) mitjançant la fórmula per als seus coeficients:

aij={asi i+j=n+1,a2si i+j=2n,1altrament.a_{ij} = \begin{cases} a & \text{si } i + j = n + 1, \\ a^2 & \text{si } i + j = 2n, \\ 1 & \text{altrament.} \end{cases}

a)

Escriviu l'expressió explícita de la matriu AnA_n per a qualsevol dimensió nn.

b)

Fixant n=4n = 4, determineu el rang de la matriu A4A_4 en funció dels valors que prengui el paràmetre aa.

c)

Té inversa A4A_4 quan a=1a = 1?

Sí

No

Considerem tot seguit el sistema d'equacions lineals amb paràmetres reals a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}:

{ax+y+z=bx+ay+z=1x+y+az=1\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}

d)

Discutiu la compatibilitat del sistema segons els diferents valors de aa i bb.

e)

Resoleu el sistema per a tots els casos en què resulti compatible.

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDL 2018

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Escriviu l'expressió explícita de la matriu AnA_n per a qualsevol dimensió nn.

Solución: An=(11⋯1a11⋯a1⋮⋮\adots⋮⋮1a⋯11a1⋯1a2)A_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & a \\ 1 & 1 & \cdots & a & 1 \\ \vdots & \vdots & \adots & \vdots & \vdots \\ 1 & a & \cdots & 1 & 1 \\ a & 1 & \cdots & 1 & a^2 \end{pmatrix}

b. Fixant n=4n = 4, determineu el rang de la matriu A4A_4 en funció dels valors que prengui el paràmetre aa.

Solución: Si a≠1a \neq 1, rang⁡(A4)=4\operatorname{rang}(A_4) = 4. Si a=1a = 1, rang⁡(A4)=1\operatorname{rang}(A_4) = 1.

c. Té inversa A4A_4 quan a=1a = 1?

Solución: No

c. Justificació de la invertibilitat de A4A_4 quan a=1a = 1.

Solución: No és invertible perquè det⁡(A4)=0\det(A_4) = 0 (o bé perquè rang⁡(A4)=1<4\operatorname{rang}(A_4) = 1 < 4).

a. Discutiu la compatibilitat del sistema segons els diferents valors de aa i bb.

Solución: - Si a≠1a \neq 1 i a≠−2a \neq -2: SCD per a qualsevol b∈Rb \in \mathbb{R}. - Si a=1a = 1 i b=1b = 1: SCI amb 2 graus de llibertat. - Si a=1a = 1 i b≠1b \neq 1: SI. - Si a=−2a = -2 i b=−2b = -2: SCI amb 1 grau de llibertat. - Si a=−2a = -2 i b≠−2b \neq -2: SI.

b. Resoleu el sistema per a tots els casos en què resulti compatible.

Solución: - Si a≠1a \neq 1 i a≠−2a \neq -2: x=ab+b−2(a−1)(a+2)x = \frac{ab+b-2}{(a-1)(a+2)}, y=a−b(a−1)(a+2)y = \frac{a-b}{(a-1)(a+2)}, z=a−b(a−1)(a+2)z = \frac{a-b}{(a-1)(a+2)}. - Si a=1a = 1 i b=1b = 1: (x,y,z)=(1−λ−μ,λ,μ)(x, y, z) = (1 - \lambda - \mu, \lambda, \mu) amb λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R}. - Si a=−2a = -2 i b=−2b = -2: (x,y,z)=(λ,λ−1,λ−1)(x, y, z) = (\lambda, \lambda - 1, \lambda - 1) amb λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 2 · 2019

Más ejercicios de Matrius, determinants i sistemes d'equacions lineals