Examen de Matemáticas Empresariales UDL 2017 · Segona Prova d'Avaluació Continuada (Gener 2017)

Exercici 1. Programació lineal de la producció de llaminadures

Una empresa elabora llaminadures per a l'ensinistrament caní a partir de fetge de porc, gelatina de porc i farina d'arròs. Els productes principals són dos: LlamiGos i LlamiCadell. La quantitat d'ingredients (en quilograms) requerits per a un lot de cada tipus es detalla a continuació:

· LlamiGos · LlamiCadell

Fetge · 2 · 3

Gelatina · 2 · 2

Farina · 4 · 2

a.

Si es compta diàriament amb un màxim de 36 kg de fetge, 28 kg de gelatina i 32 kg de farina d'arròs, plantegeu el conjunt de restriccions associades a la fabricació i representeu gràficament la regió factible resultant. (0,75 punts)

b.

Sabent que el benefici unitari és de 3 € per lot de LlamiGos i de 4 € per lot de LlamiCadell, formuleu la funció d'objectiu de beneficis, determineu raonadament el programa de producció que fa màxim aquest benefici i indiqueu el seu valor. (1 punt)

Exercici 1. Programació lineal de la producció de llaminadures

Una empresa elabora llaminadures per a l'ensinistrament caní a partir de fetge de porc, gelatina de porc i farina d'arròs. Els productes principals són dos: LlamiGos i LlamiCadell. La quantitat d'ingredients (en quilograms) requerits per a un lot de cada tipus es detalla a continuació:

· LlamiGos · LlamiCadell

Fetge · 2 · 3

Gelatina · 2 · 2

Farina · 4 · 2

c.

Representeu la recta de nivell associada a la funció de benefici en el punt de màxim. (0,5 punts)

d.

Calculeu la nova solució òptima si el guany de LlamiGos passa a ser de 2 € per lot. D'altra banda, si el guany de LlamiGos es manté en 3 €, determineu quin valor màxim pot assolir el guany unitari de LlamiCadell per tal que el benefici màxim s'aconsegueixi fabricant de manera exclusiva lots de LlamiGos. (0,75 punts)

€

Exercici 2 (2 punts). Àlgebra de matrius i equació matricial

Siguin les matrius:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$$

a.

Realitzeu aquelles operacions d'entre les següents que siguin dimensionalment vàlides: $AA^t$, $2BA$, $B^t$, $A + B$ i $B^{-1}$. [1 punt]

b.

Aïlleu i determineu la matriu $X$ que verifica la igualtat matricial: $XC = X - 2B$. [1 punt]

Exercici 3 (3 punts). Model d'inputs i outputs de Leontief

Considerem una economia formada per dos únics sectors: Agrícola i Serveis, les produccions globals dels quals se situen en 6250 u.m. i 3750 u.m. respectivament. D'una banda, el sector Agrícola destina 3750 u.m. de la seva producció al seu propi sector i 1500 u.m. al sector Serveis. D'altra banda, el sector Serveis destina 1250 u.m. a l'Agrícola i 1500 u.m. al seu propi sector.

a.

Construïu el quadre d'intercanvis intersectorials, deduïu la matriu de coeficients tècnics ($A$) i determineu la matriu de Leontief ($I - A$). [1 punt]

· Agrícola · Serveis

Agrícola

Serveis

Producció total ($X$)

b.

Calculeu i justifiqueu la demanda final de cadascun dels sectors que es pot abastar amb els nivells de producció actuals. [1 punt]

c.

Trobeu el volum de producció total que haurà de generar cada sector si es vol satisfer una demanda final de 624 unitats del sector Agrícola i de 374 unitats del sector Serveis. [1 punt]

Exercici 4 (2 punts). Sistema d'equacions lineals i discussió segons paràmetre

Un taller artesanal de mobles empra tres fases en la seva fabricació: Recepció i neteja, Tall i Polit. Els seus dos productes principals són taules i cadires. El consum d'hores per unitat és:

Per a cada taula: 1 h a Recepció i neteja, 2 h a Tall i 1 h a Polit.

Per a cada cadira: 2 h a Recepció i neteja, 3 h a Tall i 1 h a Polit.

Les hores diàries disponibles per a cadascun dels tres processos són 4 h, 8 h i $k$ hores, respectivament.

a.

Formuleu el sistema lineal que permeti calcular la quantitat de taules i cadires que es poden produir esgotant la totalitat d'hores de cada procés. [0,5 punts]

b.

Apliqueu el mètode d'eliminació de Gauss per discutir la compatibilitat del sistema segons els valors del paràmetre $k$. En cas que sigui compatible, concreteu si és determinat o indeterminat. [0,5 punts]

k =

c.

Resoleu el sistema per al valor de $k$ que el fa compatible i indiqueu quantes taules i cadires cal fabricar. [0,75 punts]

Taules ($x$): Cadires ($y$):

d.

Si la disponibilitat fos $k = 5$, es podria produir el mateix volum de taules i cadires trobat a l'apartat c? Quin inconvenient sorgiria a la fàbrica? [0,25 punts]