Examen de Matemàtiques I i II UAB 2014 · Juny

Trobeu els extrems absoluts de la funció $f(x, y) = x^2 - y^3$ sobre la regió compacta $$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 1,\, y \le x\}$$

a)

b)

c)

Exercici 2. Integrals dobles i càlcul de volums

a)

Calculeu la integral doble següent invertint l'ordre d'integració: $$\int_0^\pi \int_x^\pi \frac{\sin y}{y}\, dy\, dx$$

b)

Calculeu el volum de la regió de l'espai delimitada per les superfícies $z = x^2 + y^2$ i $z = 1$.

Considereu el camp vectorial $F(x, y, z) = (z - 2xy, x^2 + y^2 + z^2, z^3)$ i la superfície $S$ parametritzada per $\varphi(s, t) = (s, t, 1 - (s^2 + t^2))$ amb $s^2 + t^2 \le 1$, delimitada per la corba $c(\tau) = (\cos\tau, \sin\tau, 0)$ amb $\tau \in [0, 2\pi]$.

a)

Calculeu la circulació del camp $F$ al llarg de la corba $c$: $\oint_c F \cdot dr$.

b)

Determineu el camp rotacional $G = \operatorname{rot} F$.

c)

Calculeu el flux del camp $G$ a través de la superfície $S$: $\iint_S G \cdot dS$.

d)

Existeix algun teorema que relacioni els resultats obtinguts als apartats (a) i (c)? Enuncieu aquest teorema amb precisió.