Examen de Estadística I UAB 2019 · Juny

Es disposa d'una mostra representativa dels establiments comercials d'un municipi gironí. Per a cada un s'ha recollit informació sobre el sector d'activitat, la ubicació (al carrer o a galeria comercial), la forma mercantil (SA, SL, individual o cooperativa), la superfície en metres quadrats, el nombre de treballadors i els anys d'antiguitat del negoci. Es pretén analitzar si la superfície del local depèn de la forma jurídica.

En primer lloc, es realitza una exploració gràfica i un model ANOVA inicials:

Grup (forma) · mean · sd · data:n

individual · 40.42730 · 24.89409 · 189

SA · 58.03647 · 25.75558 · 235

SL · 58.51497 · 24.54017 · 348

ANOVA 1 · Df · Sum Sq · Mean Sq · F value · Pr(>F)

forma · 2 · 45737 · 22869 · 36.58 · 6.65e-16 ***

Residuals · 769 · 480701 · 625

A continuació, s'efectua una segona anàlisi després de depurar dades anòmales:

Grup (forma) · mean · sd · data:n

individual · 40.42730 · 24.89409 · 189

SA · 58.03647 · 25.75558 · 235

SL · 57.95780 · 23.90110 · 345

ANOVA 2 · Df · Sum Sq · Mean Sq · F value · Pr(>F)

forma · 2 · 43968 · 21984 · 35.96 · 1.18e-15 ***

Residuals · 766 · 468245 · 611

a)

Tenint en compte els resultats anteriors, és raonable afirmar que existeix relació entre ambdues variables? Argumenteu la resposta interpretant tant les representacions gràfiques com els paràmetres numèrics d'interès.

b)

Mesureu i quantifiqueu la magnitud de la relació observada a la mostra mitjançant l'indicador adequat.

c)

És metodològicament vàlid interpretar el coeficient obtingut? Per quin motiu? Independentment del vostre judici, interpreteu el valor calculat.

Exercici 2 (Gener 2019). Interval de confiança per a la mitjana

A partir d'una mostra aleatòria de 773 establiments d'un municipi de la demarcació de Girona, s'obtenen els següents resums numèrics i gràfics per a la variable superfície:

mean

sd

IQR

0%

25%

50%

75%

100%

n

54.01215

26.18807

37.69

4.71

33.61

59.09

71.3

126.01

773

Sortida del test t d'una mostra:

data: superficie

t = 57.343, df = 772, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

sample estimates:

mean of x

54.01215

Es demana:

a.

Estimeu l'interval de confiança al 95% per a la superfície mitjana poblacional ($\beta$) dels locals d'aquest municipi.

Límit inferior (m²):

Límit superior (m²):

b.

Es verifiquen les condicions requerides per poder interpretar adequadament l'interval obtingut? Raoneu la resposta.

c.

Al marge de si es compleixen o no els supòsits d'aplicació, valoreu si resulta plausible que la superfície mitjana poblacional de tots els comerços del municipi sigui de 55 m².

Exercici 3 (Gener 2019). Probabilitats de compra combinada

Una coneguda cadena comercial de supermercats va analitzar quins articles se solen adquirir de manera conjunta a la cistella de la compra per tal d'optimitzar la distribució física a les botigues. En el segment de consumidors d'edats compreses entre els 25 i els 35 anys es va detectar que el 40% adquireix cervesa, el 30% compra bolquers i el 20% compra ambdós articles a l'hora.

Definim els esdeveniments: $B = \text{“compra bolquers”}$ i $C = \text{“compra cervesa”}$, amb $P(B) = 0{,}3$, $P(C) = 0{,}4$ i $P(B \cap C) = 0{,}2$.

a)

Si se sap que un client d'aquest rang d'edat ha afegit bolquers al cistell, quina és la probabilitat que també compri cervesa?

b)

Si un client no adquireix bolquers, quina probabilitat hi ha que compri cervesa?

c)

Són estadísticament independents els actes de comprar cervesa i comprar bolquers? Justifiqueu detalladament la deducció.

Sí

No

Exercici 4 (Gener 2019). Identificació de funcions de densitat

Determineu quina de les funcions següents constitueix una funció de densitat de probabilitat legítima i expliqueu de manera raonada els motius pels quals les altres dues queden descartades:

$$f(x) = 6x^2 - 1 \quad \text{si } x \in [0, 1] \text{ (i } 0 \text{ a la resta)}$$$$g(x) = 1 - x \quad \text{si } x \in [0, 1] \text{ (i } 0 \text{ a la resta)}$$$$h(x) = 3x^2 \quad \text{si } x \in [0, 1] \text{ (i } 0 \text{ a la resta)}$$

A

$f(x) = 6x^2 - 1$

B

$g(x) = 1 - x$

C

$h(x) = 3x^2$

Exercici 5 (Gener 2019). Distribució normal en vendes de llet

El volum setmanal de llet comercialitzat per una empresa làctia segueix una llei normal amb mitjana de 17.000 litres i desviació estàndard de 2.500 litres ($X \sim N(17000, 2500)$).

a.

b.

c.

Límit inferior (a):

Límit superior (b):

Exercici 1 (Juny 2019). Estimació per interval de la proporció de locals

A partir d'una mostra de 772 locals comercials extreta d'un municipi gironí, s'han obtingut les següents taules de freqüència i anàlisi d'inferència per a la variable dicotòmica que indica si l'establiment es troba situat en un centre comercial:

a.

Determineu l'interval de confiança al 90% (risc del 10%) per a la proporció poblacional d'establiments situats en un centre comercial.

b.

Es compleixen les condicions tècniques per interpretar amb garanties l'interval de l'apartat previ? Justifiqueu-ho i, independentment d'això, interpreteu el rang obtingut.

Exercici 2 (Juny 2019). Taula de contingència de forma jurídica i ubicació

Es disposa d'informació sobre la forma jurídica (individual, SA o SL) i la ubicació (al carrer o a centre comercial) per a una mostra de 772 establiments comercials. La taula creuada resultant és la següent:

Test de khi-quadrat de Pearson: $\chi^2 = 9{,}753838$, graus de llibertat $= 2$, $p = 0{,}00762$.

a)

Calculeu la freqüència esperada associada als locals individuals ubicats en un centre comercial.

b)

Dels comerços situats al carrer, quina proporció correspon a negocis individuals? Dels que són societats limitades (SL), quina fracció s'ubica en un centre comercial? Quin percentatge del total de la mostra són societats anònimes (SA) situades al carrer?

c)

Mesureu la intensitat de la relació existent entre ambdues variables mitjançant l'estadístic procedent.

d)

És interpretable l'estadístic calculat a l'apartat anterior? Per quina raó?

Sí

No

e)

Quina forma mercantil mostra una major associació amb els locals a peu de carrer? I quina està més fortament associada amb els locals en centres comercials?

Exercici 3 (Juny 2019). Independència d'infraccions de trànsit

En campanyes de seguretat viària similars a les que desplega la DGT s'ha observat que el 5% dels conductors aturats donen positiu en el test d'alcoholèmia i que el 10% dels aturats no porta el cinturó cordat. Es coneix, a més, que cometre una infracció o l'altra són esdeveniments independents.

Definim els successos: $A = \text{«positiu en alcoholèmia»}$ amb $P(A) = 0{,}05$, i $C = \text{«infracció per cinturó»}$ amb $P(C) = 0{,}10$. Per independència, $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) = 0{,}05 \cdot 0{,}10 = 0{,}005$.

a)

Entre els conductors que circulaven sense cinturó, quin percentatge donarà positiu a la prova d'alcoholèmia?

%

b)

Quin percentatge de conductors aturats no ha comès cap de les dues infraccions?

%

c)

Quin percentatge d'usuaris ha comès com a mínim una de les dues infraccions?

%

Exercici 4 (Juny 2019). Model binomial

Exercici 4 (Juny 2019). Model binomial i aproximació a la normal

Emprant les dades relatives a les infraccions de trànsit establertes a l'exercici anterior:

Dades de l'exercici anterior (Exercici 3)

En campanyes de seguretat viària similars a les que desplega la DGT s'ha observat que el 5% dels conductors aturats donen positiu en el test d'alcoholèmia i que el 10% dels aturats no porta el cinturó cordat. Es coneix, a més, que cometre una infracció o l'altra són esdeveniments independents.

Definim els successos: $A = \text{“positiu en alcoholèmia”}$ amb $P(A) = 0,05$, i $C = \text{“infracció per cinturó”}$ amb $P(C) = 0,10$. Per independència, $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) = 0,05 \cdot 0,10 = 0,005$.

a)

Si un agent atura una mostra de cinc conductors, determineu la probabilitat que com a mínim un d'ells viatgi sense cinturó de seguretat.

b)

Calculeu el valor esperat i la variància de la variable que compta el nombre d'infractors del cinturó entre els cinc vehicles aturats, i interpreteu els valors obtinguts.

Exercici 4 (Juny 2019). Aproximació a la normal

Exercici 4 (Juny 2019). Model binomial i aproximació a la normal

Emprant les dades relatives a les infraccions de trànsit establertes a l'exercici anterior:

Dades de l'exercici anterior (Exercici 3)

En campanyes de seguretat viària similars a les que desplega la DGT s'ha observat que el 5% dels conductors aturats donen positiu en el test d'alcoholèmia i que el 10% dels aturats no porta el cinturó cordat. Es coneix, a més, que cometre una infracció o l'altra són esdeveniments independents.

Definim els successos: $A = \text{“positiu en alcoholèmia”}$ amb $P(A) = 0,05$, i $C = \text{“infracció per cinturó”}$ amb $P(C) = 0,10$. Per independència, $P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) = 0,05 \cdot 0,10 = 0,005$.

c)

Suposem ara que l'agent inspecciona 100 conductors. Quin nombre màxim de conductors sense cinturó s'espera trobar amb una probabilitat del 10%?