Problemes i Qüestions de Cinemàtica, Dinàmica i Lleis d'Escala en Sistemes Biològics

Problema 1. Temps de reacció i propagació d'impuls nerviós

Un individu presenta un temps de reacció total de $0{,}16\text{ s}$ davant d'un estímul. Si l'impuls nerviós es transmet a una velocitat constant de $15\text{ m/s}$ al llarg d'una distància de $1{,}2\text{ m}$, determineu:

a.

El temps emprat en la propagació de l'impuls elèctric ($t_p$).

b.

El temps dedicat pròpiament al processament neuronal a nivell central.

Problema 2. Propagació neuronal i transmissió sinàptica

Una neurona té una longitud de $30\ \mu\text{m}$ ($30 \cdot 10^{-6}\ \text{m}$) i condueix un potencial d'acció a una celeritat de $25\ \text{m/s}$. D'altra banda, una fenedura sinàptica té una amplada de $50\ \text{nm}$ ($50 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$) i el transport del neurotransmissor requereix $4\ \text{ms}$ ($0{,}004\ \text{s}$).

a.

Quant de temps triga el potencial d'acció a recórrer la neurona?

b.

Quina és la velocitat mitjana de difusió a través de l'espai sinàptic?

c.

Quin dels dos mecanismes és més ràpid en temps absolut de transmissió?

d.

Si la neurona mesurés $5\ \text{cm}$, quant trigaria l'impuls a creuar-la?

e.

Compareu les magnituds d'espai, temps i velocitat entre ambdós processos.

Problema 3. Cinemàtica del salt vertical d'un organisme

Un petit animal realitza un salt vertical i assoleix una alçada màxima de $0{,}1\text{ m}$. Preneu el mòdul de la gravetat com a $g = 10\text{ m/s}^2$.

a.

Determineu la velocitat amb què s'enlaira de terra.

b.

Si la fase d'impuls previ a l'enlairament es produeix al llarg d'una extensió de potes de $0{,}8\text{ mm}$ ($0{,}0008\text{ m}$) des del repòs, quina acceleració constant experimenta durant l'impuls?

c.

Si un altre organisme amb aquesta mateixa acceleració s'impulsa durant una distància de $0{,}5\text{ m}$, quina alçada $h$ assolirà posteriorment en el salt (prenent $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$ per al vol lliure)?

Problema 4. Superposició de moviments: canoista en un riu

Un canoista rema aigües avall amb una velocitat de $6\text{ m/s}$ respecte a la riba. En un instant donat, gira en rodó i rema a contrafort, assolint una velocitat de $2\text{ m/s}$ mesurada també des de terra.

a)

Amb quina celeritat es mouria el remer en aigües tranquil·les?

b)

Quina és la velocitat del corrent del riu respecte a la riba?

Problema 5. Moviment relatiu: passatgers a la cinta de l'aeroport

Dues persones caminen paral·lelament per la terminal d'un aeroport amb una rapidesa de $3\text{ m/s}$. En un instant determinat, una d'elles puja a una cinta transportadora mantenint el seu ritme de marxa. Si passats $20\text{ s}$ la distància de separació entre ambdues és de $40\text{ m}$:

a)

Quina és la velocitat pròpia de la cinta transportadora?

b)

Quina distància total ha recorregut la persona que va sobre la cinta en aquest lapse de temps?

Problema 6. Caiguda d'un cargol en un ascensor en moviment

Un ascensor es desplaça verticalment cap amunt a una velocitat constant de $10\text{ m/s}$. En un moment determinat, es desprèn un cargol del sostre de la cabina, situat a $2{,}50\text{ m}$ per sobre del terra de l'ascensor. Preneu $g = 10\text{ m/s}^2$.

a.

Quant de temps triga el cargol a impactar contra el terra de l'ascensor?

b.

Quin desplaçament net del cargol és mesurat per un observador immòbil situat a l'exterior?

Problema 7. Anàlisi cinemàtica d'un moviment en dues dimensions

La trajectòria d'una partícula en el pla ve descrita pel vector de posició:

$$\vec{r}(t) = (5t^2 + 1)\vec{i} + (2t - 1)\vec{j}$$

on les distàncies es mesuren en metres i el temps en segons.

a.

En quantes dimensions té lloc el moviment?

b.

Calculeu el vector de posició als instants $t_0 = 0\text{ s}$, $t_1 = 1\text{ s}$ i $t_2 = 3\text{ s}$.

c.

Quin tipus de moviment segueix el cos al llarg de cadascun dels eixos de coordenades?

Problema 8. Trajectòria i caiguda d'un vehicle teledirigit

Un cotxe de radiocontrol avança cap a un esglaó d'un metre de desnivell ($h = 1\text{ m}$). Inicialment té una velocitat de $25\text{ km/h}$ i accelera de manera uniforme a raó d'$1\text{ m/s}^2$ durant $2\text{ s}$ abans d'arribar a l'extrem de la caiguda. Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$ (o $10\text{ m/s}^2$ segons s'indiqui).

a)

Quina velocitat duu el vehicle immediatament abans de caure?

b)

Quina distància horitzontal recorre mentre accelera durant els dos segons?

c)

A quina distància horitzontal de l'extrem de l'esglaó cau a terra?

d)

Amb quina celeritat o velocitat total arriba a la superfície inferior?

Problema 9. Salt parabòlic d'un cangur

Un cangur efectua un salt que cobreix una distància horitzontal de $2\text{ m}$ amb un angle de sortida de $20^\circ$ respecte a l'horitzontal. Suposant negligible el fregament de l'aire i prenent $g = 10\text{ m/s}^2$:

a.

b.

Problema 10. Cinemàtica de rotació d'una partícula

L'equació del desplaçament angular d'un cos puntual que recorre una trajectòria circular de radi $R = 5\text{ m}$ ve donada per:

$$\theta(t) = 6t + 0{,}1t^2$$

on $\theta$ és en radiants i $t$ en segons. Determineu les expressions i els valors de la velocitat angular i de l'acceleració angular de la partícula.

a)

b)

Problema 11. Cicles de rentat i centrifugació d'un tambor

El tambor d'una rentadora ($R = 20\text{ cm}$) opera en tres etapes successives al llarg d'un programa de $30\text{ min}$ ($1800\text{ s}$) de durada total:

1r cicle (remull): MCU a una freqüència de gir de $400\text{ rpm}$ realitzant $6000\text{ voltes}$.

2n cicle (rentat): MCU a $700\text{ rpm}$ completant també $6000\text{ voltes}$.

3r cicle (centrifugació): MCUA des del repòs fins a una celeritat angular màxima durant $30\text{ s}$, completant un total de $8000\text{ voltes}$ en aquest darrer cicle.

a)

En quin cicle roman la màquina durant més temps?

b)

Calculeu la velocitat lineal perifèrica i l'acceleració centrípeta de la roba en cadascun dels tres cicles:

c)

d)

Problema 12. Moviment harmònic simple d'una barca a l'aigua

Un remer es troba assegut a la seva embarcació, en repòs respecte a l'aigua d'un llac, i observa que les crestes de les onades passen per la proa a intervals regulars de $4{,}00\text{ s}$, produint una oscil·lació vertical de vaivé amb una amplitud d'$A = 30\text{ cm}$ ($0{,}3\text{ m}$).

a)

b)

c)

Problema 13. Oscil·lació harmònica del pistó d'un motor

El pistó d'un motor de combustió realitza un moviment harmònic simple al llarg d'una carrera de $20{,}0\text{ cm}$ (distància entre extrems). El cigonyal gira a una freqüència constant d'$1{,}91 \cdot 10^3\text{ rpm}$. En l'instant inicial ($t_0 = 0\text{ s}$), el pistó es troba a una posició de $5{,}0\text{ cm}$ respecte al seu punt central d'equilibri.

a)

b)

Determineu la velocitat quan el pistó creua aquest punt inicial:

c)

Calculeu els valors màxims del moviment del pistó:

Problema Escala 1. Nombre de bacteris en un recipient

Quants bacteris Lactobacillus casei caben aproximadament en un envàs de iogurt líquid tipus Actimel de volum $V = 100\text{ ml}$? Suposeu que cada bacteri és esfèric amb un radi d'una micra ($r = 1\ \mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}$) i menyspreu l'espai intersticial buit.

15 Problema Escala 2. Estimació del nombre de molècules d'aigua a la Terra

Estimeu el nombre total de molècules d'aigua líquida contingudes als oceans terrestres suposant que la Terra és esfèrica de radi $R = 6370\text{ km}$ i que els oceans formen una capa homogènia d'un gruix mitjà de $\Delta h = 4\text{ km}$ al voltant de tot el planeta (sense descomptar la superfície dels continents).

16 Problema Escala 3. Model de semblança elàstica aplicat a troncs d'arbre

Un arbre és $2\text{ m}$ més alt que un altre i el seu diàmetre de tronc és el doble. Quina és l'alçada de cadascun d'aquests dos arbres si ambdós compleixen el model de semblança elàstica, segons el qual el diàmetre escala amb la longitud com a $d = C\cdot L^{3/2}$?

17 Problema Escala 4. Relacions al·lomètriques segons el model de semblança elàstica

Assumiu com a vàlid el model de semblança elàstica ($d \propto L^{3/2}$). Si un determinat animal té una massa $10$ vegades superior a la d'un altre de la mateixa espècie, determineu la raó entre:

a.

Les seves alçades o longituds característiques ($L_2/L_1$):

b.

Les seccions transversals de les seves extremitats ($S_2/S_1$):

c.

Les seves àrees superficials corporals totals ($A_2/A_1$):

18 Problema Escala 5. Alçada de salt d'animals i independència de la massa

Demostreu que l'alçada màxima que aconsegueixen assolir els animals vertebrats en saltar és independent de la seva massa corporal sota el model de semblança biològica.

Suggeriment: Compareu l'energia potencial al punt més alt del salt amb el treball mecànic que poden desenvolupar els músculs de les potes, el qual és proporcional a la seva longitud multiplicada per la força muscular.

Problema Entrega 1. Biomecànica i cinemàtica del salt d'una granota

Una granota de massa $m = 50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg}$ efectua un salt parabòlic amb una velocitat d'enlairament de $v_0 = 3\text{ m/s}$ i un angle de tir de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal. Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$.

Qüestionari 1. Preguntes de cinemàtica i dinàmica

Problema Entrega 1. Biomecànica i cinemàtica del salt d'una granota

Una granota de massa $m = 50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg}$ efectua un salt parabòlic amb una velocitat d'enlairament de $v_0 = 3\text{ m/s}$ i un angle de tir de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal. Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$.

e.

Un ou d'estruç té un diàmetre de $16\text{ cm}$ i un ou de gallina de $4\text{ cm}$. Suposant morfologia esfèrica, quantes vegades és més gran el volum de l'ou d'estruç que el de gallina?

f.

El temps d'immersió d'un animal aquàtic escala amb la massa segons la relació $t_{\text{imm}} \propto M^{1/4}$. Si un dofí de $500\text{ kg}$ pot estar mitja hora sota l'aigua sense respirar, quant de temps podrà estar una balena de $5000\text{ kg}$?

Problema Entrega 1. Biomecànica i cinemàtica del salt d'una granota

Una granota de massa $m = 50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg}$ efectua un salt parabòlic amb una velocitat d'enlairament de $v_0 = 3\text{ m/s}$ i un angle de tir de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal. Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$.

Qüestionari 1. Preguntes de treball, energia i potència

Problema Entrega 1. Biomecànica i cinemàtica del salt d'una granota

Una granota de massa $m = 50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg}$ efectua un salt parabòlic amb una velocitat d'enlairament de $v_0 = 3\text{ m/s}$ i un angle de tir de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal. Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$.

a.

Determineu el temps total de vol i l'alçada màxima assolida en el salt.

b.

Calculeu l'abast horitzontal total cobert pel salt abans de tocar a terra.

Problema Entrega 1. Biomecànica i cinemàtica del salt d'una granota

Una granota de massa $m = 50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg}$ efectua un salt parabòlic amb una velocitat d'enlairament de $v_0 = 3\text{ m/s}$ i un angle de tir de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal. Preneu $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$.

c.

Quina és l'energia cinètica de la granota just a l'instant de l'enlairament?

d.

Quina és la seva energia potencial gravitatòria al punt culminant de la trajectòria?

e.

Si durant l'extensió de les potes prèvia a l'enlairament (des del repòs) s'impulsa al llarg d'una distància de $x = 5\ \mathrm{cm} = 0,05\ \mathrm{m}$, quina força motriu mitjana han fet les potes sense considerar el fregament?

f.

Quina ha de ser aquesta força motriu si existeix un fregament de coeficient $\mu = 0,5$?

g.

Si dupliquéssim la massa de la granota ($m' = 100\ \mathrm{g}$), com es veurien afectades l'alçada màxima i la distància del salt mantenint la mateixa força muscular disponible?