Problemes d'Estàtica i Dinàmica de Fluids en Sistemes Biològics

Considereu el sistema circulatori d'un dinosaure de l'espècie Brachiosaurus:

a.

Calculeu quina diferència de pressió sanguínia ha d'existir entre el cor i el cap, sabent que el cap es troba a una alçada vertical de $10\text{ m}$ per damunt del cor (densitat sanguínia: $\rho = 1100\text{ kg/m}^3$, $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$).

b.

Determineu la potència mecànica mínima requerida pel cor per impulsar un cabal $Q$ de sang de $8\text{ L/min}$ des de la posició del cor fins al cap.

Es considera un peix de massa $m = 2\text{ kg}$ proveït d'una bufeta natatòria capaç d'inflar-se o desinflar-se de gas per regular la seva flotabilitat.

a)

Quan la bufeta natatòria està completament buida, el volum total del peix és d'$1{,}90\text{ L}$. Justifiqueu si en aquest estat sura o s'enfonsa en aigua marina ($\rho_{\text{aigua}} = 1025\text{ kg/m}^3$).

Sura

S'enfonsa

b)

En omplir-se de gas, el volum del peix s'incrementa sense que la seva massa variï apreciablement. Quin volum ha d'assolir la bufeta natatòria perquè el peix quedi en equilibri hidroestàtic i pugui emergir cap a la superfície?

c)

En aquesta situació d'equilibri, quin valor prenen la força d'Arquimedes i la densitat mitjana del peix?

Es considera la sedimentació d'una partícula globular esfèrica en aigua.

a)

Exposeu les expressions per a la força de resistència viscosa sobre un cos esfèric en moviment dins un medi fluid a velocitats baixes (règim laminar de Stokes) i a velocitats elevades (règim aerodinàmic/turbulent).

b)

Una partícula esfèrica globular posseeix un radi $R = 10^{-2}\text{ m}$ i una densitat $\rho_p = 1{,}5 \times 10^3\text{ kg/m}^3$. Determineu la seva velocitat límit de sedimentació en aigua pura ($\rho_f = 10^3\text{ kg/m}^3$, viscositat $\eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$, coeficient d'arrossegament hidrodinàmic $C = 0{,}5$).

c)

Calculeu el nombre de Reynolds associat a la caiguda i confirmeu quina és l'expressió física adient per modelitzar la resistència.

Règim laminar de Stokes

Règim aerodinàmic / turbulent

Un bacteri amb diàmetre aproximat d'1 $\mu\text{m}$ es desplaça en aigua a una velocitat constant d'1 $\mu\text{m/s}$. La viscositat del medi és $\eta = 10^{-3}\text{ N}\cdot\text{s/m}^2$.

a)

Quina força propulsora ha de vèncer per mantenir aquest moviment a velocitat constant? Expresseu el valor resultant en piconewtons (pN).

b)

Quina potència mecànica gasta el bacteri per desenvolupar aquesta força?

c)

Calculeu el nombre de Reynolds característic i indiqueu si la hipòtesi de Stokes és vàlida.

Sí

No

Es desitja estudiar la velocitat de sedimentació de molècules d'hemoglobina en plasma biològic ($R = 5\text{ nm}$, $\rho_{\text{hb}} = 1{,}33\text{ g/cm}^3$, $\rho_{\text{plasma}} = 1{,}06\text{ g/cm}^3$, $\eta = 2{,}084\times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$).

a)

Trobeu la velocitat de sedimentació sota l'acció exclusiva de la gravetat terrestre ($g = 9{,}8\text{ m/s}^2$), assumint $Re \ll 1$.

b)

Calculeu la velocitat de sedimentació assolida a l'interior d'una ultracentrífuga a un radi d'$r = 15\text{ cm}$ que gira a $60\,000\text{ rpm}$.

c)

Els ribosomes bacterians tenen dues subunitats designades com $30\text{ S}$ i $50\text{ S}$, on la unitat Svedberg ($1\text{ S} = 10^{-13}\text{ s}$) representa la relació entre la velocitat de desplaçament i l'acceleració centrífuga. A quina velocitat sedimentaran aquests fragments a la centrífuga esmentada anteriorment?

Hidrodinàmica 1. Flux sanguini a l'aorta

L'artèria aorta té un radi aproximat de $R = 2\text{ cm}$ i rep un cabal des del cor d'uns $5 \times 10^{-3}\text{ m}^3/\text{min}$.

a.

Trobeu la velocitat mitjana del torrent sanguini a l'interior de l'aorta.

b.

Si la pressió d'ejecció ventricular és de $120\text{ mmHg}$ i la pressió venosa de retorn és de $70\text{ mmHg}$, transformeu ambdues pressions a pascals (Pa) i calculeu la potència mecànica mitjana desenvolupada pel cor.

Hidrodinàmica 2. Efecte Venturi sobre una teulada

En situacions de vent intens, la diferència de pressió entre l'interior d'un edifici (on l'aire està en calma) i l'exterior (on l'aire flueix ràpidament) pot aixecar la teulada (densitat de l'aire: $\rho = 1{,}2\text{ kg/m}^3$).

a.

Trobeu la diferència de pressió entre l'interior i l'exterior de la casa si el vent bufa a una velocitat de $20\text{ m/s}$ sobre la teulada.

b.

Determineu la força neta ascendent sobre una teulada d'àrea $S = 100\text{ m}^2$.

c.

Quina velocitat mínima hauria d'assolir el vent per poder aixecar una teulada de $4000\text{ kg}$ de massa? ($g = 9{,}8\text{ m/s}^2$).

Hidrodinàmica 3. Xarxa vascular d'un òrgan

El comportament hemodinàmic d'un cert òrgan es pot simplificar considerant dos vasos cilíndrics idèntics disposats en paral·lel, cadascun amb radi $R = 0{,}5\text{ mm}$ i longitud $L = 5\text{ cm}$. Per cadascun d'aquests conductes circula un cabal de sang de $10^{-4}\text{ m}^3/\text{min}$ (viscositat de la sang $\eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$).

a.

Determineu la diferència de pressió entre l'entrada i la sortida de l'òrgan.

b.

Calculeu la potència dissipada per impulsar el flux sanguini en cada conducte.

c.

Com canviarien aquests valors si l'òrgan patís una embòlia que ocluís totalment un dels conductes, de manera que el vas restant hagués d'assumir tot el cabal sanguini de l'òrgan?

Qüestionari 2. Preguntes d'opció múltiple 1-11

Responeu justificadament les següents qüestions d'opció múltiple:

a.

La sang flueix a través d'una artèria que es va estrenyent progressivament. Si la secció inicial té una àrea de $4\text{ cm}^2$ i la velocitat inicial és de $10\text{ cm/s}$, quina serà la velocitat quan la secció es redueix a $2\text{ cm}^2$?

b.

Els ocells tenen sacs aeris que ajuden a mantenir un flux continu d'aire. Segons l'equació de Bernoulli, què passa amb la pressió de l'aire quan aquest augmenta la seva velocitat a la tràquea?

c.

Quin factor té més influència en la resistència al flux segons la llei de Poiseuille?

d.

El flux d'aire als pulmons segueix aproximadament la llei de Poiseuille. Com afecta la broncoconstricció (estrenyiment dels bronquis) a la velocitat del flux d'aire?

e.

Durant la respiració, l'aire flueix per la tràquea a $2\text{ m/s}$ mentre que fora de la boca la seva velocitat és pràcticament nul·la ($\rho_{\text{aire}} = 1,2\text{ kg/m}^3$). Quina serà la diferència de pressió dins la tràquea respecte a l'exterior?

g.

Una tonyina neda a $5\text{ m/s}$ en aigua ($\rho = 1000\text{ kg/m}^3$, $\eta = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$). El seu diàmetre característic és $d = 1\text{ m}$ i el coeficient d'arrossegament és $C = 0,8$. Quina és la força de resistència que fa l'aigua?

j.

Unes cèl·lules es deixen sedimentar en un medi líquid. Segons la llei de Stokes, quina d'aquestes opcions augmentaria la seva velocitat de sedimentació?

Qüestionari 2. Preguntes d'opció múltiple 1-11

Responeu justificadament les següents qüestions d'opció múltiple:

f.

Un eriçó de mar es troba a $30\text{ m}$ de profunditat en aigua marina ($\rho = 1050\text{ kg/m}^3$, $P_{\text{atm}} = 1,013 \times 10^5\text{ Pa}$, $g = 9,8\text{ m/s}^2$). Quina pressió absoluta suporta l'eriçó?

h.

Quan una medusa està suspesa a l'aigua sense enfonsar-se ni pujar, què es pot afirmar sobre les forces que actuen sobre ella?

i.

Un ós polar neda tant en aigua dolça com en aigua salada. Per què sura millor en aigua salada?

k.

Un tauró de $160\text{ kg}$ de massa es troba submergit en aigua i experimenta una força d'Arquimedes de $1800\text{ N}$ ($g = 9,8\text{ m/s}^2$). Què es pot concloure sobre el seu estat de moviment?

10. Problema addicional. Pressió hidroestàtica, Poiseuille i sedimentació cel·lular

Considereu el model de circulació i sedimentació biològica següent:

a)

La pressió sanguínia mitjana a nivell del cor és de $100\text{ mmHg}$ ($1\text{ mmHg} = 133{,}3\text{ Pa}$). Quina pressió arterial s'espera en un punt situat $20\text{ cm}$ per sota del cor quan la persona es troba dreta? ($\rho_{\text{sang}} = 1060\text{ kg/m}^3$, $g = 9{,}8\text{ m/s}^2$).

b)

Expliqueu com canvia aquesta pressió si la persona s'estira en posició horitzontal.

10. Problema addicional. Pressió hidroestàtica, Poiseuille i sedimentació cel·lular

Considereu el model de circulació i sedimentació biològica següent:

c)

Un vas sanguini té un radi de $2\text{ mm}$ i una longitud de $5\text{ cm}$. Si la pressió d'entrada és de $12\text{ kPa}$, la de sortida és de $10\text{ kPa}$ i la viscositat sanguínia val $1{,}2 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$, determineu el cabal circulant.

d)

Quant de temps caldrà per transportar un volum de sang de $10\text{ L}$ a través d'aquest vas?

e)

Una cèl·lula esfèrica de diàmetre $d = 8\ \mu\text{m}$ i massa $m = 0{,}32\text{ ng}$ sedimenta en plasma ($\rho = 1060\text{ kg/m}^3$, $\eta = 1{,}2 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}$). Calculeu la seva velocitat terminal de sedimentació.