Problemes de Física: Ones, Acústica, Bioelectricitat i Circuits

1. Tema 4 Ones - Exercici 1. Equació d'ones

Una pertorbació ondulatòria de freqüència $40\text{ Hz}$ es transmet pel llarg de l'eix $x$ en sentit positiu. En un instant determinat, la separació horitzontal mesurada entre una cresta i la vall adjacent és $\Delta x = 5\text{ cm}$, mentre que l'elongació màxima d'un punt del medi és $\Delta y = 2\text{ cm}$.

a.

Esbossau el gràfic de l'ona corresponent.

b.

Determinau la longitud d'ona.

c.

Quina és la velocitat de transmissió de l'ona?

d.

Formuleu l'expressió matemàtica de l'ona si en $t = 0$ l'origen es troba en un màxim d'elongació.

Tema 4 Ones - Exercici 2. Elasticitat i oscil·lacions

Es penja verticalment una massa d'1 kg d'una molla, observant-se que sota el seu propi pes s'estira 3 cm fins a quedar en equilibri.

a)

Dibuixau un esquema del muntatge indicant les forces presents.

b)

Calculau la constant recuperadora de la molla.

c)

Si es pertorba la posició d'equilibri, amb quina freqüència i període realitzarà petites oscil·lacions?

Tema 4 Ones - Exercici 3. Velocitat de propagació en un axó

En una fibra nerviosa mielinitzada, un impuls elèctric de despolarització es desplaça a $50\text{ m/s}$ amb una freqüència associada de $250\text{ Hz}$.

a.

Quin és el valor de la longitud d'ona d'aquest impuls?

b.

Si es monitoritza el potencial en un punt fix de la membrana de l'axó, cada quant de temps es detectarà l'arribada d'un nou impuls?

c.

Es col·loquen dos elèctrodes detectors al llarg de l'axó separats per $10\text{ cm}$. Quin temps trigarà l'impuls a arribar al segon elèctrode un cop registrat pel primer?

Tema 4 Ones - Exercici 4. Velocitat de propagació en una corda

Un intèrpret de guitarra prem una corda lliure i posteriorment la torna a polsar mentre redueix la seva longitud efectiva recolzant el dit sobre un trast situat a $2/3$ de la longitud original $L$. La velocitat de propagació a la corda és $v = \sqrt{T/\mu} = \sqrt{LT/m}$, on $T$ és la tensió mecànica i $m$ la massa total.

a.

Varia la velocitat de fase de l'ona transversal en reduir la llargària de la corda?

b.

Quina de les dues notes generades és més aguda i quina relació guarden les seves freqüències?

c.

Si s'actua sobre la clavilla duplicant la tensió original de la corda mantinguda a la llargària inicial, la nota serà més aguda o més greu que la primera emesa?

Tema 4 Ones - Exercici 5. Interferències de so

En un pla de coordenades es disposen dos altaveus als punts $(0,0)$ i $(0,d)$ (distàncies expressades en metres), els quals emeten ones sonores coherents en fase a una freqüència de $550\text{ Hz}$. Prenent com a velocitat del so en l'aire $v = 340\text{ m/s}$:

a.

Calculau la longitud d'ona del so emès per cadascun dels focus.

b.

Si es col·loca un detector a la posició $P(0{,}5,0)$, s'observa que la interferència produeix un màxim d'intensitat. Trobau el valor positiu de la distància $d$ no nul·la que compleix aquesta condició constructiva.

c.

Mantenint les posicions anteriors, es varia la freqüència dels altaveus fent el so més agut fins que al punt $P$ es registra un mínim absolut de so (interferència destructiva). Quina és aquesta nova freqüència?

Tema 4 Ones - Exercici 6. Interferometria acústica

A l'interferòmetre acústic representat a l'esquema, per a una posició donada del tub lliscant en forma d'U es detecta un mínim d'intensitat en la sortida. En allargar el tub $1{,}7\text{ cm}$ addicionals, el senyal augmenta progressivament fins a assolir un màxim d'intensitat ($v = 340\text{ m/s}$).

a.

Troba la freqüència de l'ona acústica generada per l'emissor.

b.

Si la freqüència fos la meitat de la trobada a l'apartat anterior, quant s'hauria de desplaçar el tub mòbil per passar d'un mínim al següent màxim?

Tema 4 Ones - Exercici 7. Ones estacionàries i harmònics

La tecla que produeix el so més greu d'un piano vibra a una freqüència fonamental de $27{,}5\text{ Hz}$. La corda associada té una longitud de $2\text{ m}$ i està sotmesa a una força tensora de $300\text{ N}$.

a.

Quant val la massa de la corda?

b.

Quina serà la freqüència fonamental si s'incrementa la tensió fins a $400\text{ N}$?

c.

Quines freqüències tindran els dos primers harmònics quan la tensió és de $300\text{ N}$?

Tema 4 Ones - Exercici 8. Ressonància oïda externa

La longitud mitjana del conducte auditiu extern humà (des de l'obertura exterior fins a la membrana del timpà) és d'aproximadament $2{,}5\text{ cm}$. Modelitzant aquest conducte com un tub amb un extrem obert i l'altre tancat, deduïu a quina freqüència acústica l'oïda presenta la màxima sensibilitat auditiva (fent coincidir aquesta freqüència amb la ressonància fonamental del tub, amb $v = 340\text{ m/s}$).

Propagació d'ones - Exercici 1. Efecte Doppler bàsic

Una font sonora en repòs emet amb una freqüència de $500\text{ Hz}$. Prenent la velocitat del so en l'aire com $340\text{ m/s}$:

a.

Quina freqüència percebrà un observador que s'apropa cap a la font a una velocitat de $30\text{ m/s}$?

b.

Quina freqüència registrarà si s'allunya de la font a aquesta mateixa velocitat?

10 Propagació d'ones - Exercici 2. Radars i efecte Doppler

Un equip de radar d'un cotxe patrulla estacionat emet un feix ultrasònic amb una freqüència de $2\text{ MHz}$. Les ones incideixen sobre un vehicle que s'allunya en línia recta amb velocitat $v$ i es reflecteixen retornant al radar. Sabent que el batiment o diferència de freqüències entre el senyal emès i el detectat és de $0{,}513\text{ MHz}$, deduïu la velocitat de desplaçament del vehicle en $\text{m/s}$ i en $\text{km/h}$ ($v_{\text{so}} = 340\text{ m/s}$).

a)

b)

11 Propagació d'ones - Exercici 3. Ratpenats i ecolocalització

Un ratpenat que vola a una velocitat de $5\text{ m/s}$ persegueix una libèl·lula emetent un pols d'ultrasò de freqüència $50{,}000\text{ Hz}$. La libèl·lula intenta escapar volant en el mateix sentit a $2\text{ m/s}$. Trobeu la freqüència del senyal d'eco que arriba a les orelles del ratpenat un cop reflectit per l'insecte ($v_{\text{aire}} = 340\text{ m/s}$).

a)

12 Propagació d'ones - Exercici 4. Ultrasons dels ratpenats

Els ratpenats cacen insectes voladors mitjançant ultrasons. Perquè un objecte reflecteixi eficaçment una ona, la seva dimensió ha de ser com a mínim comparable a la longitud d'ona. Sabent que la velocitat del so en l'aire és de $340\text{ m/s}$:

a)

Quina freqüència mínima han d'emetre per detectar insectes d'una mida d'1 mm? És un ultrasò?

Sí

No

b)

Si la intensitat acústica generada es calcula mitjançant $I = 2\pi^2 \rho v s^2 f^2$, on $s = 10^{-7}\text{ m}$ és l'amplitud del desplaçament de les partícules d'aire, $\rho = 1\text{ kg/m}^3$ la densitat de l'aire, i $f$ la freqüència obtinguda, calculeu la intensitat en $\text{W/m}^2$.

c)

Estimau la potència acústica emesa si la distància màxima de detecció és de 3 m.

Exercici 5. Atenuació sonora d'una explosió

Té lloc una detonació a $400\text{ m}$ d'altitud, de manera que a terra, just a sota de l'explosió (punt A), la intensitat acústica mesurada és de $6{,}7 \times 10^{-2}\text{ W/m}^2$.

a)

Quina serà la intensitat acústica percebuda a una distància de només $10\text{ m}$ del punt de detonació (punt B)?

b)

Calculau els nivells d'intensitat sonora expressats en decibels (dB) a terra (punt A) i a $10\text{ m}$ (punt B). Prenent $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$.

c)

Quina potència sonora mitjana i quina energia total irradiada corresponen a l'explosió si aquesta té una durada de $0{,}2\text{ s}$?

14 Propagació d'ones - Exercici 6. Escala decibèlica i distància

A una distància de 10 m d'una màquina s'enregistra un nivell sonor de 60 dB. Suposant una propagació esfèrica i sense absorció, quin nivell d'intensitat en decibels es mesurarà a 40 m?

15 Propagació d'ones - Exercici 7. Contaminació acústica

Un informe mediambiental adverteix que el nivell mitjà de soroll a les grans ciutats creix a raó d'1 dB per any.

a)

b)

16. Propagació d'ones - Exercici 8. Intensitat i micròfon

En una videotrucada, el micròfon emprat té una sensibilitat mínima de captació de $27\text{ dB}$ ($I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$).

a)

Suposant propagació esfèrica i que la persona parla a $2\text{ m}$ del micròfon, quina és la potència vocal mínima que ha d'emetre per ser detectada?

b)

Si es tapa el micròfon amb un full de paper que només transmet el $85\%$ de la intensitat incident, quina potència d'emissió es requerirà ara per aconseguir la mateixa detecció?

17 Bioelectricitat - Exercici 1. Energia d'enllaç iònic

Avalueu l'energia d'enllaç elèctrica associada a un parell iònic de clorur sòdic ($\mathrm{Na^+ Cl^-}$), sabent que la distància internuclear mitjana és de $2{,}36\ \text{Å}$ ($1\ \text{Å} = 10^{-10}\ \text{m}$; càrrega elemental $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}$; constant del buit $k = 9 \times 10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

a.

Efectueu el càlcul suposant que els ions es troben en el buit.

b.

Com varia aquesta energia si les molècules es troben en un entorn aquós amb permitivitat relativa $\varepsilon_r = 80$?

18 Bioelectricitat - Exercici 2. Molècula d'ATP

A la molècula d'adenosina trifosfat (ATP), la separació mitjana entre enllaços $\mathrm{P - O - P}$ és de $r = 0{,}5\ \text{nm}$. Feu una estimació de l'energia necessària per sintetitzar ATP a partir d'ADP assumint que equival al treball electrostàtic de repulsió per apropar el tercer grup fosfat (fosfat gamma, càrrega neta $-2e$) des de l'infinit fins a les seves posicions respecte dels altres dos fosfats (fosfats alfa i beta, cadascun amb càrrega $-e$ a distàncies $2r$ i $r$ respectivament). Dades: $e = 1{,}6 \times 10^{-19}\ \text{C}$, $k = 9 \times 10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$.

Bioelectricitat - Exercici 3. Densitat superficial de càrrega

En una membrana biològica, la constant dielèctrica relativa és $\varepsilon_r = 6$, el camp elèctric a través seu és de $10^7\text{ N/C}$ i la permitivitat del buit val $\varepsilon_0 = 8{,}9 \times 10^{-12}\text{ C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$.

a.

Estimeu la densitat superficial de càrrega elèctrica $\sigma$ a les superfícies de la membrana.

b.

Si la cèl·lula és esfèrica amb un radi $R = 10\text{ }\mu\text{m}$, quina és la càrrega elèctrica total acumulada?

20 Bioelectricitat - Exercici 4. Potencial de membrana

En condicions de repòs, el camp elèctric a través d'una membrana cel·lular val $E = 0{,}75 \times 10^7\text{ N/C}$ en sentit des de l'exterior cap a l'interior. El gruix de la membrana és de $8\text{ nm}$.

a)

Quant val la diferència de potencial $\Delta V = V_{int} - V_{ext}$ a la membrana? Expressau-ho en mil·livolts.

b)

Prenent el potencial de la superfície exterior com a referència nul·la ($V_{ext} = 0\text{ V}$), quin és el potencial absolut a l'interior cel·lular?

Bioelectricitat - Exercici 5. Microones i dipol d'aigua

En un forn microones, un camp elèctric oscil·lant fa girar les molècules d'aigua. L'energia absorbida per un dipol elèctric $p$ quan el camp passa de $E$ a $-E$ (mitja oscil·lació) és $2pE$. Se suposa que aquesta energia es dissipa completament com a calor en fregar amb molècules veïnes. El moment dipolar de l'aigua és de $1{,}85\text{ D}$ ($1\text{ D} = 3{,}33 \times 10^{-30}\text{ C}\cdot\text{m}$), el camp elèctric té una amplitud de $5 \times 10^4\text{ V/m}$ i la radiació té una freqüència de $2450\text{ MHz}$.

a)

Quina potència calorífica produirà una sola molècula d'aigua sotmesa a aquest camp?

b)

A quant de calor per segon (potència en watts) equivaldrà per a $100\text{ g}$ d'aigua líquida? (En $18\text{ g}$ d'aigua hi ha $6 \times 10^{23}$ molècules).

22 Bioelectricitat - Exercici 6. Conducció nerviosa a l'axó

Un segment d'axó no mielinitzat d'un centímetre de llargària ($L = 1\text{ cm}$) té una capacitat elèctrica de membrana de $3 \times 10^{-9}\text{ F}$.

a)

Si en desencadenar-se un potencial d'acció el voltatge de membrana varia des de $-96\text{ mV}$ fins a $+40\text{ mV}$, quina quantitat de càrrega elèctrica es desplaça a través d'aquest segment?

b)

Suposant que aquest flux el transporten exclusivament ions de sodi $\text{Na}^+$ que entren a l'axó, quants ions travessen la membrana?

c)

Si la concentració basal intracel·lular de sodi és de $15\text{ mols/m}^3$ i el radi de l'axó és $5 \times 10^{-6}\text{ m}$, quina fracció representen els ions que acaben d'entrar respecte dels que ja hi havia a l'interior?

23 Circuits biològics - Exercici 1. Resistència d'un axó

Calculeu la resistència òhmica total $R$ al llarg d'un segment de citoplasma d'axó d'una longitud $l = 1\text{ cm}$, sabent que la resistivitat interna és $\rho_a = 2\ \Omega\cdot\text{m}$ i el radi és $r = 5\ \mu\text{m}$.

24 Circuits biològics - Exercici 2. Resistència dels canals iònics

Mitjançant la tècnica de Patch-Clamp és possible monitoritzar el flux d'un sol canal iònic. Suposeu que a través d'un únic canal de sodi circulen 500 ions $\text{Na}^+$ en un mil·lisegon quan s'aplica una diferència de potencial a la membrana de $80\text{ mV}$. Quant val la resistència elèctrica associada al canal?

25 Circuits biològics - Exercici 3. Model elèctric del múscul

Considereu el model de contracció muscular basat en un condensador de plaques planes paral·leles representat al circuit. La força d'atracció entre plaques ve donada per $F = 2\pi k (Q^2 / A)$, on $A$ és l'àrea i $Q$ la càrrega elèctrica.

Dades del circuit: f.e.m. de la pila $\mathcal{E} = 0{,}1\text{ V}$; capacitat $C = 5\times 10^{-9}\text{ F}$; àrea $A = 10^{-4}\text{ m}^2$; resistència $R = 10^6\ \Omega$; constant $k = 9\times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$.

a)

b)

c)

26. Circuits biològics - Exercici 4. Model elèctric del node auricular

A l'aurícula dreta hi ha cèl·lules musculars especialitzades que conformen el node auricular, amb capacitat d'autoexcitació rítmica. Aquestes cèl·lules actuen com un condensador de capacitat específica $C = 3 \times 10^{-5}\text{ F/cm}^2$, i la descàrrega es produeix a través de porus iònics que actuen com a resistències en paral·lel.

a)

Quina hauria de ser la resistència total de la membrana per unitat de superfície ($\Omega\cdot\text{cm}^2$) perquè la constant de temps $\tau$ coincideixi amb l'interval entre batecs d'un cor sa a 60 pulsacions per minut?

b)

Si cada porus de la membrana té una resistència de $0{,}5 \times 10^{12}\ \Omega$, quants porus hi ha d'haver per centímetre quadrat per aconseguir aquesta resistència total?

Circuits biològics - Exercici 5. Ressonància magnètica d'un ió

En un axó, els ions de sodi ($\text{Na}^+$) es desplacen amb una velocitat longitudinal de $2{,}5 \times 10^5\text{ m/s}$. En sotmetre el pacient a una ressonància magnètica, s'aplica un camp magnètic uniforme $B = 0{,}01\text{ T}$ perpendicular a la direcció del moviment dels ions.

a)

Quina és la intensitat de la força magnètica que actua sobre cada ió?

b)

Quin radi descriuria la trajectòria curvilínia dels ions si mantinguessin aquest moviment circular lliurement? (Massa d'un ió sodi: $m = 3{,}8 \times 10^{-26}\text{ kg}$).

28. Qüestionari 4. Qüestions tipus test 1-10

a.

Un dipol elèctric sotmès a un camp elèctric homogeni experimenta:

b.

Si la diferència de potencial entre l'exterior i l'interior d'una neurona és de $70\text{ mV}$ ($V_{ext} > V_{int}$), quin canvi en la seva energia elèctrica té un ió $\text{K}^+$ quan travessa la membrana des de l'interior cap a l'exterior?

c.

Un condensador de $10\ \mu\text{F}$ està connectat a una tensió de $12\text{ V}$. Quina càrrega emmagatzema?

d.

Segons la llei de Coulomb, si es duplica la distància entre dos ions, la força elèctrica entre ells:

e.

Dues molècules amb càrregues $+2{,}0 \times 10^{-9}\text{ C}$ i $-3{,}0 \times 10^{-9}\text{ C}$ estan separades $5 \times 10^{-3}\text{ m}$ en un medi aquós ($k = 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La força elèctrica és:

28. Qüestionari 4. Qüestions tipus test 1-10

f.

Un ió $\text{Ca}^{2+}$ es mou a $2{,}0 \times 10^5\text{ m/s}$ dins un camp magnètic de $0{,}02\text{ T}$ patint una força de $6{,}4 \times 10^{-16}\text{ N}$. Quin angle formen la velocitat i el camp?

j.

Quan una partícula amb càrrega travessa un camp magnètic:

28. Qüestionari 4. Qüestions tipus test 1-10

g.

En un sistema de tres canals iònics col·locats en sèrie en una membrana amb caigudes de potencial de $10\text{ mV}$, $15\text{ mV}$ i $20\text{ mV}$, quina és la diferència de potencial total entre els extrems?

h.

Si per una neurona de resistència $1\text{ k}\Omega$ circula un corrent de $2\text{ mA}$, quina potència es dissipa per efecte Joule?

i.

La resistència d'un axó depèn del seu diàmetre. Si un axó de $0{,}5\text{ mm}$ de diàmetre té una resistència de $5\text{ k}\Omega$, quina serà la resistència d'un axó d'idèntica llargària i material però amb $1\text{ mm}$ de diàmetre?