Examen de Matemáticas II UAB 2012 · Segunda Prueba - Mayo 2012

Ejercicio 1 (5 puntos). Derivadas direccionales y matriz hessiana

Se considera la función en dos variables definida por $g(x, y) = e^{x^2 - y^2 - 7x + 8y}$.

a)

(1,5 puntos) Obtén la derivada direccional de $g(x, y)$ en el punto $(0, 0)$ según la dirección dada por el vector $\vec{v} = (-4, 3)$. Interpreta geométricamente o analíticamente el resultado hallado.

b)

(2 puntos) Determina la matriz hessiana de $g(x, y)$ calculada en el origen $(0, 0)$.

$h_{11} =$

$h_{12} =$

$h_{21} =$

$h_{22} =$

c)

(1,5 puntos) Evalúa de forma exacta el valor de la siguiente expresión:

$$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(0, 1) - \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 1)$$

Ejercicio 2 (5 puntos). Plano tangente y teorema de la función implícita

Considérese la superficie definida mediante la ecuación implícita:

$$3x^2 z + 4z^2 y - y^2 x = 6$$

a)

(1,5 puntos) Halla la ecuación general del plano tangente a dicha superficie en el punto $(1, 1, 1)$.

b)

(3,5 puntos) Justifica si la ecuación define a $z$ como función implícita diferenciable de $x$ e $y$, $z = \phi(x, y)$, en las proximidades del punto $P = (1, 1, 1)$. En caso afirmativo, calcula el gradiente $\vec{\nabla}\phi(1, 1)$.

$\frac{\partial \phi}{\partial x}(1,1) =$

$\frac{\partial \phi}{\partial y}(1,1) =$