Examen de Estadística I UAB 2018 · Juny

Pregunta 1 (2 punts). Inspecció d'emissions de vehicles

L'article 11.19 del Reglament General de Vehicles (Reial Decret 2820/98) estableix el llindar màxim d'emissions per als automòbils de gasolina. Se sap que un $25\%$ dels cotxes d'aquest tipus sotmesos a la ITV excedeixen els límits autoritzats i, en conseqüència, són rebutjats.

a)

Si es revisen 8 vehicles, quina probabilitat hi ha que exactament 4 no superin la prova? I quina és la probabilitat que tots 8 resultin aptes?

b)

Si es verifica un lot de 50 automòbils, quin nombre de vehicles s'espera que obtinguin un resultat favorable a la inspecció?

c)

Quin és el nombre esperat d'automòbils que caldrà inspeccionar fins a localitzar el primer que no passi la revisió?

d)

Si una empresa de lloguer d'automòbils presenta a revisió 8 vehicles de gasolina cada dia durant una setmana laborable (5 dies), quina és la probabilitat que exactament en 2 d'aquests dies la totalitat dels 8 vehicles superi satisfactòriament la ITV?

Pregunta 2 (2 punts). Sinistres d'automòbils

Una entitat asseguradora de vehicles pretén conèixer la distribució del nombre de sinistres dels seus clients. Es disposa de la informació que un assegurat declara de mitjana 2 sinistres cada quatre anys. Atès que patir un accident és un esdeveniment amb una probabilitat molt baixa i per tant poc freqüent:

a.

Identifica el model de distribució de probabilitat que regeix el nombre de sinistres declarats per any per un assegurat i especifica el seu paràmetre característic.

b.

Calcula la probabilitat que un client declari 2 sinistres al llarg d'un any. A continuació, determina quina és la probabilitat que durant els primers tres mesos de l'any no presenti cap comunicat de sinistre.

c.

Després de la implantació del carnet per punts s'ha observat una reducció de la sinistralitat. Sabent que actualment la probabilitat que un conductor no declari cap sinistre en tot l'any és del 74.08%, dedueix el nou valor del paràmetre de la distribució i interpreta el seu significat.

Pregunta 3 (2 punts). Anàlisi bidimensional d'acords empresarials

Es disposa d'un registre de 434 empreses que han subscrit acords de cooperació interempresarial, classificades segons l'any de la signatura ($X$) i l'àmbit territorial de l'empresa sòcia ($Y$, Nacional o Internacional):

$X \setminus Y$

Nacionals

Internacionals

2013 · 70 · 10

2014 · 67 · 21

2015 · 55 · 33

2016 · 43 · 48

2017 · 31 · 56

Completeu prèviament la taula amb les distribucions marginals i responeu a les següents qüestions:

a.

Quin és el nombre mitjà anual d'acords globals (tant nacionals com internacionals) subscrits durant els 3 primers anys de l'estudi?

b.

Quin percentatge sobre el total d'acords del període analitzat es va formalitzar l'any 2017?

%

c.

Si ens centrem únicament en els acords internacionals, quin percentatge es va establir l'any 2017?

%

d.

Se sap que la mitjana i desviació típica dels acords nacionals per any són 53.2 i 14.6 respectivament, mentre que per als internacionals són 33.6 i 16.9, i que la covariància entre ambdues variables és de -243.12. Quina conclusió es pot extreure sobre la relació lineal entre ambdues sèries?

Pregunta 4 (4 punts). Nivells de glucosa en sang

La concentració de glucosa en sang d'un individu (mesurada en mg/dL) segueix un model de distribució normal de paràmetres mitjana $\mu$ i variància $\sigma^2$. Es considera que un subjecte es troba en situació de risc de desenvolupar diabetis quan el seu nivell supera els 106 mg/dL. Dades d'estudis clínics indiquen que el 5.48% de la població es troba en aquest estat de risc, mentre que un altre 5.48% presenta xifres inferiors a 74 mg/dL.

a.

Troba la mitjana ($\mu$) i la desviació estàndard ($\sigma$) del nivell de glucosa d'aquesta població.

b.

Es defineix que una persona presenta risc elevat quan el registre de glucosa sobrepassa els 115 mg/dL. Quina és la probabilitat que un individu seleccionat a l'atzar es trobi en aquesta condició?

Acompanya la resposta d'un esquema gràfic de la funció de densitat on s'identifiqui clarament la probabilitat demanada.

c.

Si se sap per endavant que un pacient ja es troba en situació de risc de desenvolupar diabetis, quina és la probabilitat que en realitat es trobi en condició de risc elevat ?