Examen de Estadística I UAB 2018 · Juny

Pregunta 1 (2 punts). Taula de contingència d'acords empresarials

La següent taula recull la informació relativa a un conjunt de 434 companyies que han formalitzat algun conveni de col·laboració amb una altra entitat. S'hi detalla l'any de la signatura (variable $X$) i l'àmbit geogràfic de l'empresa associada, Nacional o Internacional (variable $Y$):

$X \backslash Y$ · Nacionals · Internacionals

2010 · 70 · 10

2011 · 67 · 21

2012 · 55 · 33

2013 · 43 · 48

2014 · 31 · 56

Completeu la distribució amb les freqüències marginals abans de donar resposta a les qüestions:

a.

[0.5 PUNTS] Quin és el valor mitjà d'acords totals (tant nacionals com internacionals) conclosos per aquestes societats durant els primers 4 anys del registre?

b.

[0.5 PUNTS] Quin percentatge sobre el global del període analitzat representen els acords subscrits l'any 2014?

c.

[0.5 PUNTS] Si considerem únicament els acords internacionals, quina proporció percentual es va signar el 2014?

d.

[0.5 PUNTS] Suposeu que la mitjana i la desviació típica dels convenis nacionals en aquesta etapa són 53.2 i 14.6, respectivament; per als internacionals són 33.6 i 16.9, i la covariància entre ambdues magnituds és de -243.12. Quina conclusió es pot extreure sobre la relació existent entre les dues variables?

Pregunta 2 (2 punts). Inspecció d'emissions de vehicles

D'acord amb l'article 11.19 del Reglament General de Vehicles (Reial Decret 2820/98), es fixa el llindar admissible d'emissions per a vehicles de benzina. Se sap que un 20% dels automòbils de benzina inspeccionats a la ITV ultrapassa el límit permès per la normativa i, en conseqüència, no supera la inspecció tècnica.

a.

[0.5 PUNTS] En una tanda de 10 vehicles inspeccionats, quina és la probabilitat que exactament 4 no superin la inspecció? I la probabilitat que la superin tots 10?

b.

[0.5 PUNTS] Si se sotmeten a revisió 40 vehicles, quin nombre d'aquests s'espera que superi satisfactòriament la prova?

c.

[0.5 PUNTS] Quants vehicles s'hauran de revisar, en mitjana, fins a detectar el primer que no passi la inspecció?

d.

[0.5 PUNTS] Una empresa de lloguer envia a la ITV 10 cotxes de benzina cada dia durant 5 dies hàbils. Quina és la probabilitat que exactament en tres d'aquests dies tots 10 vehicles superin la inspecció?

Pregunta 3 (2 punts). Modelització de sinistres d'automòbils

Una asseguradora de vehicles busca descriure la sinistralitat dels seus clients. Es coneix que, en mitjana, un assegurat comunica 1 sinistre cada dos anys. Atès que patir un sinistre és un fet relativament infreqüent, responeu:

a)

[0.5 PUNTS] Quina distribució de probabilitat regeix el nombre anual de sinistres d'un conductor? Indiqueu els paràmetres que la defineixen.

b)

[1 PUNT] Calculeu la probabilitat que un conductor declari exactament 1 accident en un any. Quina és la probabilitat de no reportar cap sinistre durant el primer semestre de l'any?

c)

[0.5 PUNTS] Arran de la implantació del permís per punts, la taxa de sinistralitat ha disminuït. Si ara la probabilitat que un assegurat no pateixi cap sinistre al llarg d'un any és del 74.08%, determineu el nou paràmetre de la distribució i interpreteu el canvi observat.

Estadística I — Examen Final (06-06-2018) — Tipus A

Material de suport per als càlculs amb la distribució normal estàndard $Z \sim N(0,1)$:

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1.5

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9382

0.9394

0.9406

0.9418

0.9429

0.9441

1.6

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9495

0.9505

0.9515

0.9525

0.9535

0.9545

1.7

0.9554

0.9564

0.9573

0.9582

0.9591

0.9599

0.9608

0.9616

0.9625

0.9633

1.8

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9686

0.9693

0.9699

0.9706

1.9

0.9713

0.9719

0.9726

0.9732

0.9738

0.9744

0.9750

0.9756

0.9761

0.9767

2.0

0.9773

0.9778

0.9783

0.9788

0.9793

0.9798

0.9803

0.9808

0.9812

0.9817

2.1

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9838

0.9842

0.9846

0.9850

0.9854

0.9857

2.2

0.9861

0.9864

0.9868

0.9871

0.9875

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9890

2.3

0.9893

0.9896

0.9898

0.9901

0.9904

0.9906

0.9909

0.9911

0.9913

0.9916

2.4

0.9918

0.9920

0.9922

0.9925

0.9927

0.9929

0.9931

0.9932

0.9934

0.9936

2.5

0.9938

0.9940

0.9941

0.9943

0.9945

0.9946

0.9948

0.9949

0.9951

0.9952

2.6

0.9953

0.9955

0.9956

0.9957

0.9959

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9964

2.7

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9974

2.8

0.9974

0.9975

0.9976

0.9977

0.9977

0.9978

0.9979

0.9979

0.9980

0.9981

2.9

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9985

0.9985

0.9986

0.9986

3.0

0.9987

0.9987

0.9987

0.9988

0.9988

0.9989

0.9989

0.9989

0.9990

0.9990

Pregunta 4 (4 punts). Nivell de glucosa en sang i distribució normal

La concentració de glucosa en sang d'un individu (expressada en mg/dL) es modelitza mitjançant una variable aleatòria amb distribució Normal de mitjana $\mu$ i variància $\sigma^2$. Es considera que un subjecte es troba en situació de risc de diabetis si el seu valor supera els $106\text{ mg/dL}$. Dades clíniques assenyalen que el $5.48\%$ de la població es troba en aquest estat de risc, mentre que un altre $5.48\%$ té un nivell inferior a $74\text{ mg/dL}$.

a.

[1.5 PUNTS] Trobeu el nivell mitjà ($\mu$) i la desviació estàndard ($\sigma$) de la glucèmia en aquesta població.

b.

[1 PUNT] Es diagnostica un risc elevat quan la glucèmia és superior a $120\text{ mg/dL}$. Quina és la probabilitat de trobar-se en aquesta situació? Feu un croquis representant la corba de densitat amb l'àrea corresponent indicada.

c.

[1.5 PUNTS] Sabent que una persona ja es troba en grup de risc (glucèmia superior a $106\text{ mg/dL}$), quina és la probabilitat que passi a presentar un risc elevat?