Exercício 2.2 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2025

A Figura 3 é uma fotografia do Castel del Monte, um castelo mandado construir no século XIII pelo imperador Frederico II, na região italiana da Apúlia, perto da cidade de Bari, onde se acredita ter estado o famoso matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci).

Admita que a estrutura do castelo é constituída por uma parte central, com $20{,}5\text{ m}$ de altura, delimitada, interior e exteriormente, pela superfície lateral de dois prismas octogonais regulares e por oito torres com a forma de prisma octogonal regular, com $24\text{ m}$ de altura.

Na Figura 4, que não está à escala, apresenta-se um esquema simplificado da base dessa estrutura, construída a partir de oito octógonos regulares, com $3{,}4\text{ m}$ de lado, e dois octógonos regulares concêntricos, com $7{,}5\text{ m}$ e $11{,}5\text{ m}$ de lado, com lados paralelos que distam, aproximadamente, $4{,}8\text{ m}$. Nesta figura, assinalam-se ainda dois apótemas de dois octógonos, um com, aproximadamente, $4{,}1\text{ m}$ e outro com, aproximadamente, $9\text{ m}$.

2.2. Num dos oito prismas octogonais regulares com $24$ metros de altura, fixa-se um referencial ortogonal e monométrico $Oxyz$, cuja unidade é o metro, tal que a origem do referencial coincide com o centro do prisma e que o eixo $Oz$ intersecta as bases do prisma nos seus centros, como se representa na Figura 5.

Qual das equações seguintes define o plano que contém a base inferior do prisma representado na Figura 5?

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