Exercice 2 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Polynésie 2021 (jour 1)

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.

Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7 % des habitants sont infectés par cette maladie.

Parmi les individus infectés, 20 % sont déclarés négatifs.

Parmi les individus sains, 1 % sont déclarés positifs.

Une personne est choisie au hasard dans la population.

On note:

$M$ l'évènement: « la personne est infectée par la maladie »;

$T$ l'évènement: « le test est positif ».

On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d'individus ayant un test positif parmi les dix personnes.

4. a.

Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.

4. b.

Déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.

5.

Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à $99\,\%$.