Exercice 1 - Intégration · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2025

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Pertes d’énergie dans le réseau électrique

Lors de l’alimentation d’un équipement électrique en régime sinusoïdal, les pertes d’énergie par effet Joule dans les lignes d’alimentation peuvent être importantes. Afin d’évaluer leur valeur, on doit calculer le facteur de puissance de l’équipement électrique.

Données:

Pour un courant alternatif sinusoïdal, les valeurs efficaces de la tension et de l’intensité du courant, $U_{\text{eff}}$ et $I_{\text{eff}}$, sont reliées à leurs valeurs maximales, $U_{\text{max}}$ et $I_{\text{max}}$, par les relations:

$$U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \quad \text{et} \quad I_{\text{eff}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$$

Partie 1

L’équipement électrique dont on désire déterminer le facteur de puissance est constitué de l’association d’une bobine, composant électrique présent dans de nombreux circuits électriques, et d’un résistor. On réalise le circuit représenté sur la figure 1 ci-dessous.

La figure 2 ci-après représente l’évolution temporelle de la tension $u(t)$ aux bornes de l’équipement électrique.

Partie 2

On établit un modèle numérique à partir de l'expérience décrite en partie 1. On suppose que la fonction modélisant la puissance instantanée, exprimée en mW, reçue par l'équipement électrique en fonction du temps $t$, exprimé en seconde, est définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:

$$f(t) = 12{,}25 - 13{,}91 \sin (12466\,t)$$

Q6.

On considère la fonction $F$ définie sur $[0; +\infty[$ par:

$$F(t) = 12{,}25\,t + \frac{13{,}91}{12466} \cos (12466\,t)$$

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

Q7.

L'intégrale $E_{\text{mod}} = \int_0^{60} f(t)\,\mathrm{d}t$ modélise l'énergie reçue par l'équipement électrique pendant une minute, exprimée en mJ. Calculer l'énergie $E_{\text{mod}}$, en arrondissant à l'unité.