Sujet du Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques 2023 · Métropole

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Le viscosimètre à chute de bille

La viscosité d'une huile, notée $\eta$, est un paramètre exprimé en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$, dont la connaissance est essentielle pour toute utilisation de cette huile.

Cet exercice propose un exemple de méthode de mesure de la valeur de la viscosité d'une huile de moteur Diesel du commerce.

Pour réaliser cette mesure, on utilise un « viscosimètre à chute de bille », constitué d'une éprouvette remplie d'huile de moteur dans laquelle est lâchée une bille métallique sphérique.

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et la bille est lâchée sans vitesse initiale depuis la position $z = 0$.

Données:

• Rayon de la bille utilisée: $R = 1{,}1\text{ cm}$.

• Volume de la bille: $V = 5{,}6\text{ cm}^3 = 5{,}6 \times 10^{-6}\text{ m}^3$.

• Masse de la bille métallique: $m = 20{,}1\text{ g}$.

• Masse volumique de l'huile étudiée: $\rho_{\text{huile}} = 8{,}40 \times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$.

• Intensité de la gravitation: $g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

Les forces exercées sur la bille métallique sont:

• Le poids $\vec{P}$

• La poussée d'Archimède, notée $\vec{P}_A$, de même direction que le poids $\vec{P}$ et de sens opposé. Sa valeur est $P_A = \rho_{\text{huile}} V g$, où $\rho_{\text{huile}}$ est la masse volumique de l'huile.

• La force de frottement fluide exercée par l'huile sur la bille est notée $\vec{f}$. Elle est ici de même direction que le poids $\vec{P}$ et de sens opposé. Sa valeur est donnée par la relation $f = 6\pi \eta R v$, où $v$ est la valeur de la vitesse de la bille, $\eta$ est la viscosité de l'huile et $R$ le rayon de la bille.

Q1.

Faire un schéma des forces s'appliquant sur la bille.

Exprimer le poids de la bille en fonction de $m$ et $g$ puis calculer sa valeur.

Calculer de même la valeur de la poussée d'Archimède $P_A$ et justifier que la bille d'acier tombe dans l'huile quand on la lâche en $z = 0$ avec une vitesse initiale nulle.

Q2.

En utilisant le principe fondamental de la dynamique, établir la relation liant le vecteur accélération $\vec{a}$, les forces s'exerçant sur la bille $\vec{f}$, $\vec{P}$, $\vec{P}_A$ et la masse $m$ de cette bille.

Q3.

On note $v$ la fonction définie sur $[0\; +\infty[$ comme la projection du vecteur vitesse $\vec{v}$ sur l'axe $(Oz)$. Montrer que $v$ vérifie l'équation différentielle:

$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\frac{6\pi\eta R v}{m} + g - \frac{\rho_{\text{huile}} V g}{m}$$

Q6.

On mesure expérimentalement une vitesse limite $v_{\text{lim}} = 1{,}1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. On peut en déduire la valeur de la viscosité $\eta$ par la relation suivante:

$$\eta = \frac{(m - \rho_{\text{huile}} V) g}{6 \pi R v_{\text{lim}}}$$

Calculer cette valeur et comparer le résultat à la valeur $\eta = 0{,}66\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$ fournie par le fabricant.

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Le viscosimètre à chute de bille

La viscosité d'une huile, notée $\eta$, est un paramètre exprimé en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$, dont la connaissance est essentielle pour toute utilisation de cette huile.

Cet exercice propose un exemple de méthode de mesure de la valeur de la viscosité d'une huile de moteur Diesel du commerce.

Pour réaliser cette mesure, on utilise un « viscosimètre à chute de bille », constitué d'une éprouvette remplie d'huile de moteur dans laquelle est lâchée une bille métallique sphérique.

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et la bille est lâchée sans vitesse initiale depuis la position $z = 0$.

Données:

• Rayon de la bille utilisée: $R = 1{,}1\text{ cm}$.

• Volume de la bille: $V = 5{,}6\text{ cm}^3 = 5{,}6 \times 10^{-6}\text{ m}^3$.

• Masse de la bille métallique: $m = 20{,}1\text{ g}$.

• Masse volumique de l'huile étudiée: $\rho_{\text{huile}} = 8{,}40 \times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$.

• Intensité de la gravitation: $g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

Les forces exercées sur la bille métallique sont:

• Le poids $\vec{P}$

• La poussée d'Archimède, notée $\vec{P}_A$, de même direction que le poids $\vec{P}$ et de sens opposé. Sa valeur est $P_A = \rho_{\text{huile}} V g$, où $\rho_{\text{huile}}$ est la masse volumique de l'huile.

• La force de frottement fluide exercée par l'huile sur la bille est notée $\vec{f}$. Elle est ici de même direction que le poids $\vec{P}$ et de sens opposé. Sa valeur est donnée par la relation $f = 6\pi \eta R v$, où $v$ est la valeur de la vitesse de la bille, $\eta$ est la viscosité de l'huile et $R$ le rayon de la bille.

En explicitant les valeurs numériques, on admet que $v$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ suivante où $v(t)$ est exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ et $t$ en $\text{s}$:

$$(E): \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -6{,}8\,v + 7{,}5$$

Q4.

Au début de l'expérience, la bille est introduite dans l'éprouvette avec une vitesse nulle. Démontrer que la solution $v$ de cette équation sur $[0\; +\infty[$ vérifiant cette condition initiale est définie par:

$$v(t) = -\frac{75}{68}\,\mathrm{e}^{-6{,}8t} + \frac{75}{68}$$

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Le viscosimètre à chute de bille

La viscosité d'une huile, notée $\eta$, est un paramètre exprimé en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}$, dont la connaissance est essentielle pour toute utilisation de cette huile.

Cet exercice propose un exemple de méthode de mesure de la valeur de la viscosité d'une huile de moteur Diesel du commerce.

Pour réaliser cette mesure, on utilise un « viscosimètre à chute de bille », constitué d'une éprouvette remplie d'huile de moteur dans laquelle est lâchée une bille métallique sphérique.

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen et la bille est lâchée sans vitesse initiale depuis la position $z = 0$.

Données:

• Rayon de la bille utilisée: $R = 1{,}1\text{ cm}$.

• Volume de la bille: $V = 5{,}6\text{ cm}^3 = 5{,}6 \times 10^{-6}\text{ m}^3$.

• Masse de la bille métallique: $m = 20{,}1\text{ g}$.

• Masse volumique de l'huile étudiée: $\rho_{\text{huile}} = 8{,}40 \times 10^2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$.

• Intensité de la gravitation: $g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

Les forces exercées sur la bille métallique sont:

• Le poids $\vec{P}$

• La poussée d'Archimède, notée $\vec{P}_A$, de même direction que le poids $\vec{P}$ et de sens opposé. Sa valeur est $P_A = \rho_{\text{huile}} V g$, où $\rho_{\text{huile}}$ est la masse volumique de l'huile.

• La force de frottement fluide exercée par l'huile sur la bille est notée $\vec{f}$. Elle est ici de même direction que le poids $\vec{P}$ et de sens opposé. Sa valeur est donnée par la relation $f = 6\pi \eta R v$, où $v$ est la valeur de la vitesse de la bille, $\eta$ est la viscosité de l'huile et $R$ le rayon de la bille.

On admet que la vitesse de chute est donnée pour tout $t \in [0\; +\infty[$ par:

$$v(t) = -\frac{75}{68}\,\mathrm{e}^{-6{,}8t} + \frac{75}{68}$$

Q5.

Déterminer la valeur exacte de $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)$ notée $v_{\text{lim}}$, exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

EXERCICE 2 (6 points) (physique-chimie)

Aide au stationnement

Les constructeurs automobiles proposent depuis plusieurs années des systèmes d'aide au stationnement ou de stationnement automatique qui reposent sur l'utilisation de capteurs à ultrasons.

Quelques caractéristiques des ultrasons

Q1. Parmi les propositions suivantes, indiquer sur votre copie celles qui sont exactes:

Le document 1 représente la tension mesurée à l'oscilloscope par un détecteur recevant le signal émis par un émetteur d'ultrasons:

Q2. Déterminer la fréquence $f$ des ultrasons émis, en kHz et expliquer pourquoi le signal produit par l'émetteur n'est pas audible.

Donnée: les ondes sonores audibles ont des fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz.

Utilisation des ultrasons pour déterminer une distance

Le capteur à ultrasons utilisé dans le système d'aide au stationnement est un capteur « combiné » qui contient un émetteur et un récepteur d'ondes ultrasonores. La distance entre le capteur et l'obstacle est déduite de la durée qui s'écoule entre l'émission d'une impulsion ultrasonore et la réception de son écho par le capteur, connaissant la vitesse de propagation des ultrasons dans l'air.

Une modélisation au laboratoire du capteur, à l'aide d'un émetteur et d'un récepteur à ultrasons indépendants, a permis d'obtenir la copie d'écran d'oscilloscope suivante dans le cas d'un obstacle situé à une distance de 10 cm.

Q3. Indiquer, en donnant deux arguments, lequel des deux signaux (signal 1 ou signal 2) du document 3 est associé à l'onde réfléchie.

Q4. Le capteur combiné ne peut fonctionner correctement en récepteur que lorsqu'il a fini de fonctionner en émetteur. À l'aide du document 3, préciser si la durée d'impulsion utilisée dans l'expérience permettrait de détecter correctement un obstacle situé à une distance de 10 cm.

Principe de fonctionnement d'un système de stationnement automatique

Certains systèmes embarqués effectuent automatiquement la manœuvre de stationnement du véhicule, sans intervention du conducteur. Cela n'est possible qu'après une phase de mesure qui permet de déterminer si la taille de la place est compatible avec la manœuvre.

Dimensions minimales de la place de stationnement

Longueur (en m)

5,1

Largeur (en m)

2,2

Document 4 – Dimensions de la place de stationnement

Lors de la phase de mesure, la voiture est parallèle au trottoir et se déplace vers l'avant à vitesse constante le long de la place libre.

On a réalisé un dispositif modélisant ce système grâce à un microcontrôleur et un émetteur-récepteur à ultrasons que l'on a fixé sur une voiture se déplaçant comme indiqué sur le document 5.

Q5. Durant la phase 2 du mouvement de l'automobile indiquée sur le document 6, le capteur à ultrasons se trouve au niveau de la place disponible (entre les points B et C du document 5).

En utilisant le document 6, déterminer la durée de la phase 2 du mouvement de la voiture et en déduire la longueur de la place libre.

En vous aidant du tableau du document 4, indiquer si celle-ci permet le stationnement de la voiture.

Donnée: la voiture se déplace à la vitesse $v_0 = 1{,}3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

La distance $d$ indiquée sur le document 5 désigne la distance latérale par rapport aux véhicules déjà stationnés.

Q6. À l'aide du document 5 et du document 6, et sachant que la vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans l'air est $c_{\text{son}} = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ montrer que la valeur de la distance $d$ est comprise entre 0,6 m et 0,7 m.

Calculer la profondeur $h$ de la place libre et, en vous aidant du tableau du document 4, indiquer si celle-ci permet le stationnement de la voiture.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie même si elle n'a pas abouti.

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres. Chacune d'elles est notée sur un point.

Question 1

Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

L'expression $\dfrac{(\mathrm{e}^{-3x})^2 \times (\mathrm{e}^{2x})^{-3}}{\mathrm{e}^{5x} \times \mathrm{e}^{6x}}$ vaut:

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{2x}(-3x + 1)$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Montrer que $f'(x) = \mathrm{e}^{2x}(-6x - 1)$.

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres. Chacune d'elles est notée sur un point.

Question 3

On désigne par $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Mettre le nombre complexe $\sqrt{3} + \mathrm{i}$ sous forme exponentielle en détaillant les calculs.

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres. Chacune d'elles est notée sur un point.

Question 4

Résoudre sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ l'équation:

$$\dfrac{2}{3\ln(10)}\ln(x) - 2{,}88 = 4$$

EXERCICE 4 (6 points) (physique-chimie)

Les boissons en randonnée

Conservation d'une boisson chaude

Dans la documentation fournie par un fabricant de bouteilles isothermes, on peut lire l'information suivante relative à un modèle donné: pour une température initiale de l'eau à $95\ ^\circ\text{C}$, la température vaut $82\ ^\circ\text{C}$ au bout de $6\text{ h}$ et $73\ ^\circ\text{C}$ au bout de $12\text{ h}$.

On place $1{,}0\text{ L}$ d'eau à la température $\theta_i = 95\ ^\circ\text{C}$ dans l'une de ces bouteilles isothermes.

La température extérieure à la bouteille est $\theta_{\text{ext}} = 25\ ^\circ\text{C}$.

Q1.

Exprimer la variation de l'énergie interne, $\Delta U$, de l'eau contenue dans la bouteille isotherme, au cours des 6 premières heures en fonction de: la masse de l'eau, $m_{\text{eau}}$, la capacité thermique massique de l'eau, $c_{\text{eau}}$, la température initiale de l'eau, $\theta_i$, et la température de l'eau après 6 h, $\theta_f$. Montrer que $\Delta U$ est voisine de $54\text{ kJ}$.

Q2.

Définir le flux thermique à travers la paroi et montrer que le flux thermique moyen qui traverse la paroi de la bouteille au cours des 6 premières heures, $\Phi_{\text{moyen}}$, est voisin de $2{,}5\text{ W}$.

Q3.

Choisir sans calcul, parmi les trois propositions suivantes, la valeur du flux thermique à l'instant initial et justifier ce choix:

En déduire que la valeur de la résistance thermique $R_{\text{th}}$ des parois de la bouteille isotherme est voisine de $19\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}$ en prenant la température du liquide à l'intérieur égale à $\theta_{\text{int}} = 95\text{ }^\circ\text{C}$ et la température extérieure égale à $\theta_{\text{ext}} = 25\text{ }^\circ\text{C}$.

Q4.

Montrer que la paroi de la bouteille isotherme d'épaisseur $e = 1{,}0\text{ cm}$ et de surface totale $S = 0{,}098\text{ m}^2$ a une conductivité thermique $\lambda = 0{,}0052\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$.

Q5.

Expliquer, sans calcul, l'intérêt du vide partiel entre les deux parois de la bouteille.

EXERCICE 4 (6 points) (physique-chimie)

Les boissons en randonnée

Conservation d'une boisson chaude

Dans la documentation fournie par un fabricant de bouteilles isothermes, on peut lire l'information suivante relative à un modèle donné: pour une température initiale de l'eau à $95\ ^\circ\text{C}$, la température vaut $82\ ^\circ\text{C}$ au bout de $6\text{ h}$ et $73\ ^\circ\text{C}$ au bout de $12\text{ h}$.

On place $1{,}0\text{ L}$ d'eau à la température $\theta_i = 95\ ^\circ\text{C}$ dans l'une de ces bouteilles isothermes.

La température extérieure à la bouteille est $\theta_{\text{ext}} = 25\ ^\circ\text{C}$.

Approvisionnement en eau: les pastilles de purification

Il existe des comprimés effervescents qui permettent de purifier l'eau.

Le fabricant indique qu'il suffit d'ajouter un comprimé dans un litre d'eau non potable et d'attendre 30 minutes avant de la consommer.

Un comprimé de masse 50 mg contient 3,5 mg de dichloroisocyanurate de sodium (noté NaDCC), de l'hydrogénocarbonate de sodium et de l'acide adipique.

Q6.

Déterminer la valeur de la quantité de matière $n$ de NaDCC dans 1,0 L d'eau préparée en suivant les recommandations préconisées.

Donnée: masse molaire du NaDCC: $M_{\mathrm{NaDCC}} = 219{,}95\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Q7.

Lorsque le comprimé entre en contact avec l'eau, une transformation chimique a lieu, produisant de l'acide hypochloreux de formule $\mathrm{HClO}$ dont la molécule contient un élément Chlore, $\mathrm{Cl}$. Au cours de cette transformation chimique, une mole de NaDCC libère ainsi deux moles d'élément chlore.

Calculer la masse d'élément chlore $\mathrm{Cl}$ qui se trouve dans 1,0 L d'eau à l'issue de son traitement à l'aide de la pastille effervescente.

Donnée: masse molaire du chlore $M(\mathrm{Cl}) = 35{,}5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Q8.

La teneur en chlore libre est définie par la masse en élément chlore par unité de volume. Pour assurer l'absence de prolifération microbiologique, il est recommandé, en France, de maintenir une teneur de chlore libre aux alentours de 0,1 mg/L en tous points du réseau (eau du robinet). L'OMS recommande une valeur maximale de chlore libre dans l'eau potable de 5 mg/L.

Préciser si l'eau purifiée avec un comprimé est potable et justifier.