Exercice 2 - Lunette astronomique afocale · Bac Physique-Chimie Métropole 1 remplacement 2024

Exercice 2 - La découverte de Neptune (5 points)

Suite à la découverte de la planète Uranus en 1781 et à l'étude de sa trajectoire, certains astronomes supposèrent l'existence d'une autre planète qui influencerait son mouvement. En 1846, le français Urbain Le Verrier parvint à proposer, par le calcul, des caractéristiques de cette nouvelle planète. Grâce aux indications de Le Verrier et à l'aide de la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin, l'astronome Johann Galle repéra dès ses premières nuits d'observation le nouvel astre qui porte depuis le nom de Neptune.

Le but de cet exercice est d'analyser certaines prévisions de Le Verrier puis d'étudier l'observation de Neptune avec la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin.

1. Les caractéristiques de Neptune selon les prévisions de Le Verrier

Données:

conversion d'une distance exprimée en mètre (m) en une distance exprimée en unité astronomique (UA): 1 UA = $1{,}50\times 10^{11}$ m;

valeurs de référence actuellement admises pour quelques paramètres planétaires: demi-grand axe de l'orbite de la planète Uranus: $a_{RéfU} = 19{,}2$ UA;

période de révolution de la planète Uranus autour du Soleil: $T_{RéfU} = 84{,}1$ ans;

période de révolution de la planète Neptune autour du Soleil: $T_{RéfN} = 165$ ans;

la planète Neptune est plus éloignée du Soleil que la planète Uranus;

pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Sur la figure 1 ci-dessous, ont été représentés l'orbite elliptique d'une planète autour du Soleil ainsi que le demi-grand axe $a$ de cette orbite.

On peut montrer que pour tous les objets en orbite elliptique autour du Soleil, le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est le même.

Dans son mémoire présenté en 1846, Le Verrier indique que, selon ses calculs, Neptune a une orbite elliptique de demi-grand axe $a_{VerrierN} = 36{,}2$ UA.

2. Observation de Neptune

Distance Neptune-Terre (aout 1846)

$d_{T-N} = 4{,}4\times 10^{9}$ km

Diamètre de Neptune

$D = 4{,}95\times 10^{4}$ km

Pouvoir séparateur de l'oeil

$3\times 10^{-4}$ rad

Q6.

À l'aide des données, montrer que la valeur de l'angle $\theta$ (sous lequel Neptune est vue depuis la Terre) est voisine de $1{,}1\times 10^{-5}$ rad.

On modélise la lunette astronomique étudiée par un système de deux lentilles minces convergentes notées L1 et L2 comme représenté sur la figure 3 de l' ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Cette lunette est constituée d'un objectif (lentille L1) et d'un oculaire (lentille L2), dont les centres optiques sont notés respectivement O1 et O2 et dont les foyers images sont représentés par F'1 et F'2. Le foyer image F'1 de l'objectif est par ailleurs confondu avec le foyer objet F2 de l'oculaire.

Sur la figure 3 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, la planète Neptune est modélisée par un objet AB situé à l'infini. Le point A est situé sur l'axe optique. Les rayons qui arrivent de A sont parallèles à l'axe optique. Le point B est situé en dehors de l'axe optique. Les rayons issus de B sont parallèles entre eux et atteignent la lentille L1 avec une inclinaison $\theta$ par rapport à l'axe optique.

Q7.

Expliquer pourquoi la figure 3 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE représente une lunette astronomique afocale.

Q8.

Sur la figure 3 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, compléter la marche des trois rayons lumineux du faisceau incident issu de B déjà tracés et traversant l'ensemble de la lunette.

On note $\theta'$ l'angle sous lequel on voit l'image donnée par la lunette astronomique et $G = \theta'/\theta$ le grossissement de celle-ci.

Distance focale de l'objectif

$f'_1 = 4{,}27$ m

Distance focale de l'oculaire

$f'_2 = 28$ mm

Le Verrier a écrit: « non seulement on pourra apercevoir la nouvelle planète dans les bonnes lunettes, mais encore on la distinguera par l'amplitude de son disque; son apparence ne sera pas réduite à celle d'une étoile [ponctuelle]. »

Q9.

Après avoir établi l'expression du grossissement $G$ en fonction des distances focales $f'_1$ et $f'_2$, calculer la valeur de l'angle $\theta'$ sous lequel Galle a pu observer Neptune avec la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin. Commenter la phrase de Le Verrier.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.