Exercice 1 - Observation de Mars avec une lunette… · Bac Physique-Chimie Métropole 2022 (sujet 2)

EXERCICE I commun à tous les candidats (10 points)

OBSERVATION DE LA PLANÈTE MARS

La planète Mars est une planète du système solaire au cœur de multiples projets scientifiques internationaux destinés à mieux connaitre son sol et son histoire.

Les objectifs de l'exercice sont de déterminer quelques caractéristiques de la planète Mars à partir:

de la mesure de l'angle sous lequel elle est vue par un observateur terrestre;

de l'observation de Phobos, l'un de ses satellites naturels.

Données:

angle $\theta$, exprimé en radian, sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre:

on se place dans le cadre de l'approximation des petits angles ($\theta \ll 1\text{ rad}$): $\tan(\theta) \approx \theta$ avec $\theta$ en rad;

la distance Terre-Mars, notée $D$, étant suffisamment grande devant le diamètre de Mars, noté $d_{\text{M}}$, l'angle $\theta$ (en rad) a pour expression:$$\theta \approx \frac{d_{\text{M}}}{D}$$

pouvoir séparateur de l'œil humain: il correspond à l'angle minimal, noté $\varepsilon$, au-dessus duquel l'œil humain peut différencier deux points. Il a pour valeur $\varepsilon = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$;

diamètre moyen de référence de la planète Mars: $d_{\text{ref}} = 6{,}78 \times 10^3\text{ km}$;

rayon de l'orbite, supposée circulaire, de Mars autour du Soleil: $r_{\text{SM}} = 2{,}28 \times 10^8\text{ km}$;

masse de la Terre: $M_{\text{T}} = 5{,}97 \times 10^{24}\text{ kg}$.

1. Observation de Mars avec une lunette astronomique

On peut observer la planète Mars avec une lunette astronomique afocale composée de deux lentilles minces convergentes $L_1$ et $L_2$ de distances focales respectives $f_1' = 900\text{ mm}$ et $f_2' = 20\text{ mm}$. Le schéma donné en annexe représente des rayons lumineux provenant des deux points de Mars $P_1$ et $P_2$.

Q1.

Indiquer le rôle de chacune des deux lentilles:

$L_1$:

$L_2$:

Q2.

Citer la propriété caractéristique d'une lunette astronomique dite « afocale ». Donner la position du foyer objet $F_2$ de la lentille $L_2$ par rapport à celle du foyer image $F_1'$ de la lentille $L_1$ de cette lunette.

Q3.

Sur l'annexe ci-dessous:

- Placer les foyers $F_1'$ et $F_2$.

- Tracer la marche des rayons lumineux issus des points $P_1$ et $P_2$ de Mars: à travers la lentille $L_1$ en faisant apparaître les images intermédiaires $P_1'$ et $P_2'$; puis à travers la lentille $L_2$ en faisant apparaître l'angle $\theta'$ sous lequel la planète Mars est vue en sortie de la lunette.

Q4.

On admet que le grossissement de la lunette astronomique afocale s'exprime par la relation: $$G_{\text{lunette}} = \frac{f_1'}{f_2'}$$ Calculer la valeur du grossissement $G_{\text{lunette}}$ de la lunette utilisée.

Q5.

En janvier 2021, l'angle sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre à l'œil nu était de $\theta = 4{,}9 \times 10^{-5}\text{ rad}$. Cet observateur voit alors un point lumineux. Justifier cette observation.

Q6.

Indiquer ce qu'il observe en utilisant la lunette astronomique précédente. Justifier par un calcul.

2. Détermination du diamètre de Mars

À l'aide des mesures effectuées en début de chaque mois avec la lunette astronomique, on détermine l'angle $\theta$ sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre à partir de janvier 2018. Les valeurs de l'angle $\theta$ sont représentées en fonction du temps $t$ sur la figure 1. La date $t = 0$ correspond au 1er janvier 2018.

Le schéma présenté en figure 2 montre les deux positions extrêmes de Mars par rapport à la Terre ainsi que les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ sous lesquels la planète Mars est vue pour ces deux positions:

Q7.

Associer, en expliquant votre démarche, les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ sous lesquels la planète Mars est vue par un observateur terrestre aux points A et B de la figure 1. En déduire les valeurs de $\theta_1$ et $\theta_2$.

$\theta_1$:

$\theta_2$:

Q8.

En utilisant la figure 2, montrer que l'expression du diamètre $d_M$ de la planète Mars s'exprime de la façon suivante: $$d_M = \frac{2\,r_{SM}}{\left(\frac{1}{\theta_1} + \frac{1}{\theta_2}\right)}$$

Q9.

Calculer la valeur du diamètre $d_M$ de la planète Mars. Commenter.