Exercice 1 - Parties 1 et 2 : Observation à l'œil… · Bac Physique-Chimie Métropole 1 remplacement 2023

EXERCICE 1 - OBSERVATION ORNITHOLOGIQUE D'UNE OIE CENDRÉE (11 points)

Certains parcs ornithologiques proposent des sorties mêlant observations des oiseaux, suivies d'analyse d'échantillons récoltés comme par exemple des plumes.

Cet exercice s'intéresse dans un premier temps à l'observation d'une oie cendrée à l'œil nu et à l'aide d'une longue-vue. Puis, dans un second temps, le phénomène d'interférences lumineuses est utilisé pour déterminer des dimensions caractéristiques de la structure d'une plume d'oie.

Données:

taille approximative d'une oie cendrée: 80 cm;

taille approximative du bec d'une oie cendrée: 7 cm;

distance focale de l'objectif $L_1$ de la longue-vue: $f_1' = 450$ mm;

distance focale de l'oculaire $L_2$ de la longue-vue: $f_2' = 30$ mm;

relation de conjugaison pour une lentille L de centre optique O: $$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$$ où $\overline{OA'}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A', $\overline{OA}$ est la distance algébrique entre le centre optique de la lentille L et le point A et $f'$ est la distance focale de la lentille;

grandissement transversal $$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$$ où $\overline{A'B'}$ est la taille algébrique de l'image A'B' et $\overline{AB}$ est celle de l'objet AB;

approximation dans le cas de petits angles ($\theta \ll 1$ rad): $\sin\theta = \theta$; $\tan\theta = \theta$.

1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu

L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association:

d'une lentille mince convergente L, d'axe optique $\Delta$, de distance focale $f' = \overline{OF'} = 17$ mm, de centre optique O;

d'un écran situé à une distance $D = 17$ mm du centre optique O.

Figure 1. Schéma simplifié du modèle de l'œil

La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.

La rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F'.

Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2); sa valeur est de $3\times 10^{-4}$ rad.

Figure 2. L'objet AB est vu sous un angle α par l'œil. Il peut être distinctement vu par l'œil si $\alpha > \alpha_m$

1. Observation d'une oie cendrée à l'œil nu

L'œil est un système complexe que l'on peut modéliser par l'association d'une lentille mince convergente L, d'axe optique Δ, de distance focale $f' = \overline{OF'} = 17$ mm, de centre optique O; et d'un écran situé à une distance $D = 17$ mm du centre optique O. La rétine est une membrane qui tapisse le fond de l'œil et qui joue le rôle d'écran. L'oie cendrée est modélisée par un objet de hauteur AB perpendiculaire à l'axe optique en A et situé à 280 m du centre optique O. L'image de AB à travers la lentille L est notée A'B'.

Q1.

Justifier que la position de l'image A'B' de l'oie par la lentille L est telle que $\overline{OA'} = 17$ mm.

Q2.

Vérifier que la taille de l'image A'B' de l'oie sur la rétine de l'observateur est voisine de 49 μm. Sachant que la rétine est assimilée à un disque de rayon égal à 6 mm centré en F', préciser si l'oie est vue en entier par un observateur.

Le pouvoir séparateur de l'œil humain est l'angle limite, noté $\alpha_m$, sous lequel un objet peut être vu distinctement par l'œil (voir figure 2); sa valeur est de $3\times 10^{-4}$ rad.

Q3.

Déterminer la distance minimale séparant deux points A et B d'un objet pouvant être vus lorsqu'ils sont situés à une distance de 280 m de l'œil. En déduire si l'oie peut être vue distinctement par l'observateur à l'œil nu puis déterminer si le bec de l'oie peut être observé distinctement.

2. Observation avec une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale

L'oie est désormais observée à l'aide d'une longue-vue assimilée à une lunette astronomique afocale. Cette lunette est composée d'une lentille $L_1$ de distance focale $f_1'$ jouant le rôle de l'objectif et d'une lentille $L_2$ de distance focale $f_2'$ jouant le rôle de l'oculaire. On considère que l'oie, modélisée par un objet AB perpendiculaire à l'axe optique en A, est « à l'infini ». L'image de AB à travers la lentille $L_1$ est notée $A_1B_1$. L'image de $A_1B_1$ à travers la lentille $L_2$ est notée $A_2B_2$.

Figure A1 (annexe à compléter):

Q4-Q5.

Q4. Compléter la figure A1 de l'ANNEXE pour représenter l'image $A_1B_1$ formée par la lentille $L_1$ d'un objet AB (représentant l'oie situé à l'infini). Q5. Placer, en justifiant, le foyer objet $F_2$ de la lentille $L_2$ sur la figure A1 de l'ANNEXE.

Une lunette astronomique est caractérisée par son grossissement d'expression:

$$G = \frac{\alpha'}{\alpha}$$

avec $\alpha$ l'angle sous lequel l'objet AB est vu à l'œil nu et $\alpha'$ l'angle sous lequel l'image $A_2B_2$ est vue à travers la lunette astronomique afocale.

Q6.

En considérant les angles $\alpha$ et $\alpha'$ exprimés en radians comme petits, montrer que le grossissement de la lunette astronomique afocale peut s'exprimer par la relation $G = \frac{f_1'}{f_2'}$.

Q7.

Calculer la valeur du grossissement G de la lunette astronomique afocale.

Q8.

Indiquer en justifiant si l'observateur voit distinctement, à travers la longue-vue, le bec de l'oie situé à 280 m.