Exercice 2 - Lunette astronomique · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2023

EXERCICE 2 - MARS VUE SOUS L'ŒIL DE KEPLER (6 points)

Johannes Kepler (1571-1630) est un astronome allemand connu pour avoir établi les trois lois qui portent son nom et qui permettent notamment de décrire le mouvement des planètes du système solaire.

On étudie dans cet exercice la troisième loi de Kepler appliquée à la planète Mars, puis on détermine les caractéristiques d'une lunette astronomique permettant d'observer cette planète.

1. Étude et utilisation des lois de Kepler

Donnée:

valeur de l'unité astronomique (au, astronomical unit): 1 au = $1{,}496\times 10^{11}$ m.

En 1600, Kepler devient l'assistant de l'astronome danois Tycho Brahe. Celui-ci le charge d'étudier la trajectoire de Mars et de déterminer son orbite à l'aide des observations astronomiques et des mesures qu'il a lui-même effectuées. Cette tâche, longue et délicate, conduit Kepler à envisager une trajectoire elliptique pour Mars. Il publie ses deux premières lois en 1609, puis la troisième loi en 1618.

D'après La science moderne: de 1450 à 1800, de René Taton

Le référentiel d'étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen: son origine est au centre du Soleil et ses axes pointent vers des étoiles lointaines.

Les périodes de révolution $T$ (en année) et les demi-grands axes $a$ (en unité astronomique) des trajectoires des planètes du système solaire (à l'exception de Mars) sont saisies dans un programme écrit en langage Python, afin de vérifier la troisième loi de Kepler. Un extrait de ce programme est donné sur la figure 2.

En 1611, Johannes Kepler propose dans son ouvrage Dioptricae une nouvelle combinaison optique pour la lunette astronomique utilisée par Galilée en remplaçant la lentille divergente par une lentille convergente.

D'après La science moderne: de 1450 à 1800, de René Taton

Fondées sur ce modèle, les lunettes astronomiques actuelles sont formées de deux lentilles minces convergentes. On représente ci-dessous le schéma optique d'une lunette astronomique afocale (figure A1), avec un objet à l'infini A∞B∞.

Données

Distance minimale Mars-Terre

62,07 millions de km

Angle sous lequel est vue la Lune à l'œil nu

$9{,}0\times 10^{-3}$ rad

Diamètre de Mars

6 794 km

Approximation des petits angles

$\tan\theta = \theta$ ($\theta$ en radian)

Angle $\theta$ sous lequel un observateur voit un objet AB de hauteur $h$ à une distance $d$.

Q6. Sur la figure ci-dessous, on note L 1 et L 2 les deux lentilles minces convergentes. Préciser la lentille correspondant à l'objectif et celle correspondant à l'oculaire.

On considère un objet situé à l'infini, noté A∞B∞. On observe cet objet avec la lunette.

Q7. Tracer sur la figure la marche des rayons lumineux provenant de B∞ à travers la lentille L 1 et la lentille L 2 en faisant apparaître l'image intermédiaire, notée A 1 B 1, de l'objet A∞B∞ à travers la lentille L 1.

La plupart du temps, il est difficile d'observer Mars depuis la Terre, notamment à cause de sa petite taille. La situation la plus favorable est quand Mars est en opposition, c'est-à-dire alignée avec la Terre et le Soleil. Cette situation correspond au moment où Mars est au plus près de la Terre.

D'après https://www.observatoiredeparis.psl.eu

On observe Mars à l'aide d'une lunette astronomique dont les caractéristiques sont données dans le tableau 2.

Distance focale de l'objectif · 900 mm

Diamètre de l'objectif · 70 mm

Masse du tube optique · 1,75 kg

Distance focale des oculaires interchangeables · 10 mm; 25 mm; 40 mm

Tableau 2. Fiche technique d'une lunette astronomique 70/900 (d'après www.maison-astronomie.com)

Q8. Représenter les angles $\theta_1$ (angle sous lequel est vu Mars à l'œil nu) et $\theta_2$ (angle sous lequel est vu Mars à l'aide de la lunette) sur la figure.

Figure A1 - Modèle de la lunette astronomique, à compléter pour les questions Q6, Q7 et Q8.

Q9.

On rappelle que le grossissement $G$ de la lunette s'écrit: $G = \dfrac{\theta_2}{\theta_1}$. Établir que le grossissement s'exprime en fonction des distances focales de l'objectif et de l'oculaire notées respectivement $f'_{obj}$ et $f'_{ocu}$: $G = \dfrac{f'_{obj}}{f'_{ocu}}$.

Q10.

Dans la situation où Mars est au plus près de la Terre, déterminer parmi les oculaires fournis avec la lunette décrite au tableau 2, celui qui permet à un observateur de voir Mars au moins aussi grosse que la Lune vue à l'œil nu.

Valeur du grossissement minimal nécessaire $G$:

Oculaire à choisir: