Exercice 2 - Lunette astronomique · Bac Physique-Chimie Métropole 2024 (sujet 1)

Thème : Former des images : lunette astronomique et lentilles minces · Tiré du sujet Métropole France 1 (2024)

Énoncé

Exercice 2 - Observation d'un avion en vol

1. Observation d'un avion A312 avec une lunette astronomique

Exercice 2 - Observation d'un avion en vol (5 points)

Le trafic aérien est source de fascination pour beaucoup de gens. Notre observation se limite souvent à la traînée de l'avion dans le ciel ou, plus récemment, à un suivi en direct (trajectoire, vitesse, altitude) grâce à des applications en ligne.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'observation, avec une lunette astronomique afocale commerciale, de certains détails de la structure d'un avion de type A312 en vol, puis de déterminer la vitesse de cet avion en phase d'atterrissage grâce à un enregistrement du son émis par le moteur.

Données

les valeurs du grossissement GG de la lunette astronomique utilisée sont comprises entre 16 et 48;

un observateur peut distinguer deux points différents A et B d'un objet si l'angle α\alpha sous lequel ces deux points sont vus depuis le point d'observation (voir figure ci-dessous) est supérieur ou égal à 3,0×10−43{,}0\times 10^{-4} rad;

approximation dans le cas des petits angles (α≪1\alpha \ll 1 rad): tan⁡(α)=α\tan(\alpha) = \alpha;

quelques données concernant un avion A312: longueur de l'avion: L=44,5L = 44{,}5 m;

altitude de vol de croisière de l'avion: h=10,4h = 10{,}4 km;

vitesse de vol de croisière de l'avion: vc=863v_c = 863 km⋅\cdoth−1^{-1};

hublot de l'avion A312:

Q1.

Donner la définition d'une lunette afocale.

Q2.

Sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, placer le foyer objet F2F_2 puis le foyer image F2′F'_2 de l'oculaire de la lunette astronomique.

L'avion vole à la verticale de l'observateur et se trouve donc à la distance hh de celui-ci.

Sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, les extrémités avant et arrière de l'avion observé sont respectivement modélisées par les points A∞A_\infty et B∞B_\infty, situés à une très grande distance de l'observateur.

Q3.

Construire, sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, la marche des deux rayons lumineux issus de B∞B_\infty qui émergent de la lunette, en faisant apparaître l'image intermédiaire A1B1A_1B_1.

Q5.

Après avoir placé les angles α\alpha et α′\alpha' sur le schéma EN ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, rappeler l'expression du grossissement GG d'une lunette astronomique en fonction des angles α\alpha et α′\alpha'.

Q4.

Vérifier à l'aide d'un calcul que l'on peut distinguer, à l'œil nu, l'avant de l'avion de sa queue.

Q6.

Déterminer si on peut distinguer l'un de l'autre les deux bords verticaux d'un hublot de l'avion, à l'aide de la lunette astronomique étudiée.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Q1. Donner la définition d'une lunette afocale.

Réponse : Une lunette afocale est un système optique dont le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire (F1′≡F2F'_1 \equiv F_2). Elle donne d'un objet situé à l'infini une image située à l'infini (elle conserve le parallélisme des rayons entre l'entrée et la sortie).

Q2, Q3, Q5. Tracé géométrique sur l'annexe (foyers, rayons issus de B_inf, image intermédiaire A1B1, et angles alpha et alpha').

Réponse : - F2F_2 est confondu avec F1′F'_1. - F2′F'_2 est situé sur l'axe optique, symétrique de F2F_2 par rapport au centre optique de l'oculaire. - Le rayon passant par le centre optique de l'objectif n'est pas dévié et croise le plan focal image en B1B_1. - L'image intermédiaire A1B1A_1B_1 est réelle, inversée et située dans le plan focal commun (A1≡F1′≡F2A_1 \equiv F'_1 \equiv F_2). - Les rayons émergent de l'oculaire parallèles entre eux en faisant un angle α′\alpha' avec l'axe optique.

Q5. Rappeler l'expression du grossissement G d'une lunette astronomique en fonction des angles alpha et alpha'.

Réponse : G=α′αG = \frac{\alpha'}{\alpha}

Q4. Calcul de l'angle sous lequel l'avion est observé à l'œil nu (en rad).

Réponse : 4,3×10−3 rad4{,}3\times 10^{-3}\text{ rad}

Q4. Vérifier à l'aide d'un calcul que l'on peut distinguer, à l'œil nu, l'avant de l'avion de sa queue.

Réponse : Oui, on peut distinguer l'avant de l'avion de sa queue car α=4,3×10−3 rad>3,0×10−4 rad\alpha = 4{,}3\times 10^{-3}\text{ rad} > 3{,}0\times 10^{-4}\text{ rad} (limite de résolution de l'œil).

Q6. Calcul de l'angle sous lequel est vu le hublot à travers la lunette (en rad).

Réponse : 1,5×10−3 rad1{,}5\times 10^{-3}\text{ rad} / 1,1×10−3 rad1{,}1\times 10^{-3}\text{ rad}

Q6. Déterminer si on peut distinguer l'un de l'autre les deux bords verticaux d'un hublot de l'avion, à l'aide de la lunette astronomique étudiée.

Réponse : Oui, on peut les distinguer car αH′=1,5×10−3 rad>3,0×10−4 rad\alpha'_H = 1{,}5\times 10^{-3}\text{ rad} > 3{,}0\times 10^{-4}\text{ rad} (supérieur au pouvoir séparateur de l'œil).

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