Sujet du Bac Physique-Chimie 2024 · Métropole 1 remplacement

Exercice 1 - L'acide citrique comme produit ménager (9 points)

L'acide citrique est un acide naturellement présent dans les fruits, en particulier dans le jus de citron. Ses propriétés acides en font un détartrant utilisé comme produit ménager.

Le but de cet exercice est de déterminer la quantité de matière d'acide citrique présente dans le jus extrait d'un citron puis de vérifier l'indication « 1 pelle doseuse = la puissance de 10 citrons » notée sur l'emballage d'un produit ménager (voir photo ci-contre).

Données:

l'acide citrique est un triacide, il est noté H 3 A dans cet exercice;

les autres espèces acide-base associées à l'acide citrique sont notées H 2 A −, HA 2− et A 3−;

formules topologiques:

Acide citrique · Hexane

masse molaire de l'acide citrique: $M = 192{,}1\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$;

p$K_A$ à 25 °C des couples acide/base associés à l'acide citrique: p$K_{A1} = 3{,}1$; p$K_{A2} = 4{,}8$; p$K_{A3} = 6{,}4$;

concentration standard: $c° = 1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H d'un alcool · O–H d'un acide carboxylique · C=O · C–O · C=C

Nombre d'onde (en cm −1) · 3100 – 3500 · 2800 – 3400 · 1700 – 1800 · 1200 – 1300 · 1620 – 1680

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte et large · Forte et fine · Forte et fine · Faible et fine

diagramme de distribution de différentes espèces acido-basiques des couples associés à l'acide citrique:

1. Étude de quelques propriétés de l'acide citrique

Q1.

Nommer les groupes caractéristiques 1 et 2 encadrés sur la formule topologique de l'acide citrique. Préciser celui qui est responsable des propriétés acides de la molécule dans l'eau.

Q3.

La solubilité de l'acide citrique dans l'eau à 25 °C est égale à $592\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}$. La solubilité de l'hexane dans l'eau vaut $9{,}5\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}$. Proposer une explication de la différence entre ces deux valeurs de solubilité.

2. Titrage de l'acide citrique

Q9.

À partir de la formule topologique de l'acide citrique $\mathrm{H_3A}$, représenter la formule semi-développée de l'ion $\mathrm{A^{3-}}$.

Exercice 1 - L'acide citrique comme produit ménager (9 points)

L'acide citrique est un acide naturellement présent dans les fruits, en particulier dans le jus de citron. Ses propriétés acides en font un détartrant utilisé comme produit ménager.

Le but de cet exercice est de déterminer la quantité de matière d'acide citrique présente dans le jus extrait d'un citron puis de vérifier l'indication « 1 pelle doseuse = la puissance de 10 citrons » notée sur l'emballage d'un produit ménager (voir photo ci-contre).

Données:

l'acide citrique est un triacide, il est noté H 3 A dans cet exercice;

les autres espèces acide-base associées à l'acide citrique sont notées H 2 A −, HA 2− et A 3−;

formules topologiques:

Acide citrique · Hexane

masse molaire de l'acide citrique: $M = 192{,}1\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$;

p$K_A$ à 25 °C des couples acide/base associés à l'acide citrique: p$K_{A1} = 3{,}1$; p$K_{A2} = 4{,}8$; p$K_{A3} = 6{,}4$;

concentration standard: $c° = 1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H d'un alcool · O–H d'un acide carboxylique · C=O · C–O · C=C

Nombre d'onde (en cm −1) · 3100 – 3500 · 2800 – 3400 · 1700 – 1800 · 1200 – 1300 · 1620 – 1680

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte et large · Forte et fine · Forte et fine · Faible et fine

diagramme de distribution de différentes espèces acido-basiques des couples associés à l'acide citrique:

Figure 1. Spectre infrarouge de l'acide citrique:

Q2.

Justifier que le spectre infrarouge de la figure 1 est compatible avec la structure chimique de l'acide citrique.

Exercice 1 - L'acide citrique comme produit ménager (9 points)

L'acide citrique est un acide naturellement présent dans les fruits, en particulier dans le jus de citron. Ses propriétés acides en font un détartrant utilisé comme produit ménager.

Le but de cet exercice est de déterminer la quantité de matière d'acide citrique présente dans le jus extrait d'un citron puis de vérifier l'indication « 1 pelle doseuse = la puissance de 10 citrons » notée sur l'emballage d'un produit ménager (voir photo ci-contre).

Données:

l'acide citrique est un triacide, il est noté H 3 A dans cet exercice;

les autres espèces acide-base associées à l'acide citrique sont notées H 2 A −, HA 2− et A 3−;

formules topologiques:

Acide citrique · Hexane

masse molaire de l'acide citrique: $M = 192{,}1\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$;

p$K_A$ à 25 °C des couples acide/base associés à l'acide citrique: p$K_{A1} = 3{,}1$; p$K_{A2} = 4{,}8$; p$K_{A3} = 6{,}4$;

concentration standard: $c° = 1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H d'un alcool · O–H d'un acide carboxylique · C=O · C–O · C=C

Nombre d'onde (en cm −1) · 3100 – 3500 · 2800 – 3400 · 1700 – 1800 · 1200 – 1300 · 1620 – 1680

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte et large · Forte et fine · Forte et fine · Faible et fine

diagramme de distribution de différentes espèces acido-basiques des couples associés à l'acide citrique:

L'équation modélisant la réaction entre l'acide citrique $H_3A$ et l'eau est:

$$H_3A(aq) + H_2O(\ell) \rightarrow H_2A^-(aq) + H_3O^+(aq)$$

On dispose au laboratoire d'une solution aqueuse d'acide citrique de concentration $c = 2{,}6\times 10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Son pH vaut environ 2,3.

Q4.

Attribuer à chaque courbe numérotée du diagramme de distribution de l'acide citrique l'espèce chimique correspondante. Justifier ces attributions.

Q5.

Estimer, à l'aide du diagramme de distribution, les proportions en pourcentage de chaque espèce acido-basique $H_3A$ et $H_2A^-$ de cette solution.

Q6.

En déduire, par le calcul, qu'à pH = 2,3 les concentrations des espèces chimiques $H_3A$ et $H_2A^-$ sont voisines de $[H_3A]_{éq} = 2{,}2\times 10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ et $[H_2A^-]_{éq} = 3{,}9\times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

Q7.

Donner l'expression de la constante d'acidité $K_{A1}$ du couple $H_3A(aq)/H_2A^-(aq)$ en fonction des concentrations en quantité de matière à l'équilibre $[H_3A]_{éq}$, $[H_2A^-]_{éq}$, $[H_3O^+]_{éq}$ et de la concentration standard $c°$. En déduire l'égalité $\frac{[H_2A^-]_{éq}}{[H_3A]_{éq}} = 10^{pH - pK_{A1}}$.

Q8.

Déterminer si les proportions du diagramme de distribution à pH = 2,3 sont cohérentes avec la valeur du quotient $\frac{[H_2A^-]_{éq}}{[H_3A]_{éq}}$ calculée à l'aide de la relation démontrée à la question Q7.

Exercice 1 - L'acide citrique comme produit ménager (9 points)

L'acide citrique est un acide naturellement présent dans les fruits, en particulier dans le jus de citron. Ses propriétés acides en font un détartrant utilisé comme produit ménager.

Le but de cet exercice est de déterminer la quantité de matière d'acide citrique présente dans le jus extrait d'un citron puis de vérifier l'indication « 1 pelle doseuse = la puissance de 10 citrons » notée sur l'emballage d'un produit ménager (voir photo ci-contre).

Données:

l'acide citrique est un triacide, il est noté H 3 A dans cet exercice;

les autres espèces acide-base associées à l'acide citrique sont notées H 2 A −, HA 2− et A 3−;

formules topologiques:

Acide citrique · Hexane

masse molaire de l'acide citrique: $M = 192{,}1\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$;

p$K_A$ à 25 °C des couples acide/base associés à l'acide citrique: p$K_{A1} = 3{,}1$; p$K_{A2} = 4{,}8$; p$K_{A3} = 6{,}4$;

concentration standard: $c° = 1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

données de spectroscopie infrarouge:

Liaison · O–H d'un alcool · O–H d'un acide carboxylique · C=O · C–O · C=C

Nombre d'onde (en cm −1) · 3100 – 3500 · 2800 – 3400 · 1700 – 1800 · 1200 – 1300 · 1620 – 1680

Allure de la bande caractéristique · Forte et large · Forte et large · Forte et fine · Forte et fine · Faible et fine

diagramme de distribution de différentes espèces acido-basiques des couples associés à l'acide citrique:

2. Titrage de l'acide citrique

Dans cette partie, on cherche à déterminer expérimentalement la masse d'acide citrique présente dans un citron. Le protocole expérimental suivant est réalisé:

presser un citron avec un presse-agrumes;

filtrer le jus obtenu. Le volume de jus mesuré vaut $V_{\text{jus}} = 46\text{ mL}$ après filtration;

diluer 10 fois le jus de citron filtré;

prélever un volume $V_{\text{dilué}} = 25{,}0\text{ mL}$ de jus de citron dilué et réaliser le titrage par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration $c_B = 2{,}5 \times 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$, à l'aide d'un suivi pH-métrique.

Les valeurs des trois $\text{p}K_A$ de l'acide citrique étant proches, les trois acidités sont titrées simultanément. L'équation de la réaction support du titrage s'écrit:

$$\mathrm{H_3A(aq) + 3\,HO^-(aq) \rightarrow A^{3-}(aq) + 3\,H_2O(\ell)}$$

La courbe de titrage obtenue est représentée à la figure 2.

Q9.

À partir de la formule topologique de l'acide citrique $\mathrm{H_3A}$, représenter la formule semi-développée de l'ion $\mathrm{A^{3-}}$.

Q10.

Proposer un protocole expérimental permettant de diluer 10 fois le jus de citron filtré. Justifier la verrerie utilisée.

Q11.

Réaliser un schéma légendé du dispositif de titrage, en nommant le matériel et les solutions utilisées.

Q12.

Choisir dans le tableau ci-dessous, en justifiant, un indicateur coloré adapté à ce titrage. Préciser, en justifiant, le changement de couleur de l'indicateur coloré à l'équivalence.

Nom de l'indicateur coloré

Zone de virage

Teinte en milieu acide

Teinte en milieu basique

hélianthine · $3{,}1 - 4{,}4$ · rouge · jaune

rouge de méthyle · $4{,}2 - 6{,}2$ · rouge · jaune

bleu de bromothymol · $6{,}0 - 7{,}6$ · jaune · bleu

phénolphtaléine · $8{,}2 - 10{,}0$ · incolore · rose

Q13.

En supposant que l'acide citrique est le seul acide présent dans le fruit, déterminer la masse d'acide citrique présente dans le citron.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Q14.

Avec un protocole similaire, on détermine que la masse d'acide citrique contenue dans une pelle-doseuse est égale à $23\text{ g}$.

En déduire le nombre de citrons apportant la même masse d'acide citrique. Commenter.

Exercice 2 - La découverte de Neptune (5 points)

Suite à la découverte de la planète Uranus en 1781 et à l'étude de sa trajectoire, certains astronomes supposèrent l'existence d'une autre planète qui influencerait son mouvement. En 1846, le français Urbain Le Verrier parvint à proposer, par le calcul, des caractéristiques de cette nouvelle planète. Grâce aux indications de Le Verrier et à l'aide de la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin, l'astronome Johann Galle repéra dès ses premières nuits d'observation le nouvel astre qui porte depuis le nom de Neptune.

Le but de cet exercice est d'analyser certaines prévisions de Le Verrier puis d'étudier l'observation de Neptune avec la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin.

1. Les caractéristiques de Neptune selon les prévisions de Le Verrier

Données:

conversion d'une distance exprimée en mètre (m) en une distance exprimée en unité astronomique (UA): 1 UA = $1{,}50\times 10^{11}$ m;

valeurs de référence actuellement admises pour quelques paramètres planétaires: demi-grand axe de l'orbite de la planète Uranus: $a_{RéfU} = 19{,}2$ UA;

période de révolution de la planète Uranus autour du Soleil: $T_{RéfU} = 84{,}1$ ans;

période de révolution de la planète Neptune autour du Soleil: $T_{RéfN} = 165$ ans;

la planète Neptune est plus éloignée du Soleil que la planète Uranus;

pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Sur la figure 1 ci-dessous, ont été représentés l'orbite elliptique d'une planète autour du Soleil ainsi que le demi-grand axe $a$ de cette orbite.

On peut montrer que pour tous les objets en orbite elliptique autour du Soleil, le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est le même.

Dans son mémoire présenté en 1846, Le Verrier indique que, selon ses calculs, Neptune a une orbite elliptique de demi-grand axe $a_{VerrierN} = 36{,}2$ UA.

Données

1 UA

$1{,}50\times 10^{11}$ m

$a_{RéfU}$

19,2 UA

$T_{RéfU}$

84,1 ans

$T_{RéfN}$

165 ans

Neptune est plus éloignée du Soleil qu'Uranus. Pour discuter de l'accord d'une mesure avec une valeur de référence, on utilise le quotient $\dfrac{|x - x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée.

Q1.

Nommer la position particulière occupée par le Soleil pour l'ellipse représentée en figure 1. Préciser le nom de l'astronome connu pour avoir établi ce résultat.

On peut montrer que pour tous les objets en orbite elliptique autour du Soleil, le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est le même.

Q2.

Justifier que la période de révolution de Neptune est plus grande que celle d'Uranus.

Dans son mémoire présenté en 1846, Le Verrier indique que, selon ses calculs, Neptune a une orbite elliptique de demi-grand axe $a_{VerrierN} = 36{,}2$ UA.

Q3.

Déterminer à l'aide de $a_{RéfU}$, $T_{RéfU}$ et $a_{VerrierN}$ la valeur en années de la période de révolution $T_{VerrierN}$ de la planète Neptune pour l'orbite prévue par Le Verrier.

Grâce au mémoire de Le Verrier, il est possible d'estimer l'incertitude-type $u(T_{VerrierN})$ associée à la valeur $T_{VerrierN}$ obtenue en Q3: $u(T_{VerrierN}) = 13$ ans.

Q4.

Discuter de l'accord du résultat de $T_{VerrierN}$ avec la valeur de référence actuelle $T_{RéfN}$.

Le Verrier a mené ses calculs en étudiant les perturbations exercées par Uranus sur Neptune. L'orbite d'Uranus n'était pas encore décrite avec précision au début du XIXe siècle. Le Verrier a donc été contraint à plusieurs approximations, ce qui explique la différence obtenue sur la trajectoire calculée pour Neptune comme en témoigne la figure 2.

Figure 2. Orbites d'Uranus et de Neptune (le schéma n'est pas à l'échelle)

D'après La découverte de Neptune par Le Verrier (1846), James Lequeux

Q5.

À l'aide de la figure 2, comparer de manière qualitative la valeur du demi-grand axe de l'orbite prédite par Le Verrier avec la valeur du demi-grand axe de l'orbite réelle de Neptune. Montrer la cohérence de la réponse avec les résultats de la question Q3.

Exercice 2 - La découverte de Neptune (5 points)

Suite à la découverte de la planète Uranus en 1781 et à l'étude de sa trajectoire, certains astronomes supposèrent l'existence d'une autre planète qui influencerait son mouvement. En 1846, le français Urbain Le Verrier parvint à proposer, par le calcul, des caractéristiques de cette nouvelle planète. Grâce aux indications de Le Verrier et à l'aide de la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin, l'astronome Johann Galle repéra dès ses premières nuits d'observation le nouvel astre qui porte depuis le nom de Neptune.

Le but de cet exercice est d'analyser certaines prévisions de Le Verrier puis d'étudier l'observation de Neptune avec la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin.

1. Les caractéristiques de Neptune selon les prévisions de Le Verrier

Données:

conversion d'une distance exprimée en mètre (m) en une distance exprimée en unité astronomique (UA): 1 UA = $1{,}50\times 10^{11}$ m;

valeurs de référence actuellement admises pour quelques paramètres planétaires: demi-grand axe de l'orbite de la planète Uranus: $a_{RéfU} = 19{,}2$ UA;

période de révolution de la planète Uranus autour du Soleil: $T_{RéfU} = 84{,}1$ ans;

période de révolution de la planète Neptune autour du Soleil: $T_{RéfN} = 165$ ans;

la planète Neptune est plus éloignée du Soleil que la planète Uranus;

pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Sur la figure 1 ci-dessous, ont été représentés l'orbite elliptique d'une planète autour du Soleil ainsi que le demi-grand axe $a$ de cette orbite.

On peut montrer que pour tous les objets en orbite elliptique autour du Soleil, le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est le même.

Dans son mémoire présenté en 1846, Le Verrier indique que, selon ses calculs, Neptune a une orbite elliptique de demi-grand axe $a_{VerrierN} = 36{,}2$ UA.

2. Observation de Neptune

Distance Neptune-Terre (aout 1846)

$d_{T-N} = 4{,}4\times 10^{9}$ km

Diamètre de Neptune

$D = 4{,}95\times 10^{4}$ km

Pouvoir séparateur de l'oeil

$3\times 10^{-4}$ rad

Q6.

À l'aide des données, montrer que la valeur de l'angle $\theta$ (sous lequel Neptune est vue depuis la Terre) est voisine de $1{,}1\times 10^{-5}$ rad.

On modélise la lunette astronomique étudiée par un système de deux lentilles minces convergentes notées L1 et L2 comme représenté sur la figure 3 de l' ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Cette lunette est constituée d'un objectif (lentille L1) et d'un oculaire (lentille L2), dont les centres optiques sont notés respectivement O1 et O2 et dont les foyers images sont représentés par F'1 et F'2. Le foyer image F'1 de l'objectif est par ailleurs confondu avec le foyer objet F2 de l'oculaire.

Sur la figure 3 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, la planète Neptune est modélisée par un objet AB situé à l'infini. Le point A est situé sur l'axe optique. Les rayons qui arrivent de A sont parallèles à l'axe optique. Le point B est situé en dehors de l'axe optique. Les rayons issus de B sont parallèles entre eux et atteignent la lentille L1 avec une inclinaison $\theta$ par rapport à l'axe optique.

Q7.

Expliquer pourquoi la figure 3 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE représente une lunette astronomique afocale.

Q8.

Sur la figure 3 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE, compléter la marche des trois rayons lumineux du faisceau incident issu de B déjà tracés et traversant l'ensemble de la lunette.

On note $\theta'$ l'angle sous lequel on voit l'image donnée par la lunette astronomique et $G = \theta'/\theta$ le grossissement de celle-ci.

Distance focale de l'objectif

$f'_1 = 4{,}27$ m

Distance focale de l'oculaire

$f'_2 = 28$ mm

Le Verrier a écrit: « non seulement on pourra apercevoir la nouvelle planète dans les bonnes lunettes, mais encore on la distinguera par l'amplitude de son disque; son apparence ne sera pas réduite à celle d'une étoile [ponctuelle]. »

Q9.

Après avoir établi l'expression du grossissement $G$ en fonction des distances focales $f'_1$ et $f'_2$, calculer la valeur de l'angle $\theta'$ sous lequel Galle a pu observer Neptune avec la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin. Commenter la phrase de Le Verrier.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et doit être correctement présentée.

Exercice 3 — Étude d'une bouteille isotherme

Exercice 3 - Étude d'une bouteille isotherme (6 points)

Une bouteille isotherme permet de maintenir un liquide au chaud ou au froid pendant une certaine durée. L'efficacité de la bouteille isotherme dépend des conditions d'utilisation mais aussi de sa constitution.

L'objectif de cet exercice est d'évaluer la capacité thermique du vase interne d'une bouteille isotherme, schématisée en figure 1, et d'en déduire la nature possible du métal qui constitue ce vase.

1. Constitution de la bouteille isotherme et échanges thermiques

Dans les bouteilles isothermes de qualité médiocre, l'espace entre le vase interne et la bouteille extérieure est rempli d'un matériau qui joue le rôle d'isolant thermique (polystyrène par exemple).

Dans le cas de la bouteille isotherme de qualité supérieure étudiée ici et représentée sur la figure 1, le vase interne n'est pas en contact direct avec la paroi de la bouteille extérieure et est maintenu par des ressorts centraux et un support en caoutchouc.

2. Expérience visant à déterminer la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme

On verse une masse d'eau froide $m_{EF} = 300$ g dans la bouteille isotherme. Le vase interne et l'eau froide sont à la température initiale $\theta_{EF} = 15°C$. On complète le contenu de la bouteille avec une masse d'eau chaude $m_{EC} = 100$ g à la température $\theta_{EC} = 60°C$. La bouteille isotherme pleine est rapidement fermée puis agitée légèrement. Après trois minutes, la température d'équilibre thermique est atteinte et vaut $\theta_{éq} = 26°C$.

Données

Capacités thermiques massiques de plusieurs métaux à la pression atmosphérique et à la température de 25°C:

Matériau · Capacité thermique massique (J·kg⁻¹·K⁻¹)

Argent · 235

Acier inoxydable · 450

Titane · 520

Aluminium · 900

on néglige l'influence de l'air piégé après fermeture de la bouteille isotherme;

la température de l'air extérieur et la pression atmosphérique sont constantes pendant la durée des expériences;

la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme est notée $C_{Vase}$;

la capacité thermique massique de l'eau est constante et vaut: $c_E = 4{,}18 \times 10^{3}$ J·kg⁻¹·K⁻¹;

la durée de l'expérience est: $\Delta t = 180$ s;

la température de l'air extérieur vaut: $\theta_{ext} = 19°C$;

la résistance thermique, notée $R$, entre le système {S} et le milieu extérieur vaut approximativement $R = 23$ K·W⁻¹.

On modélise la bouteille isotherme par un système {S} constitué de trois sous-systèmes:

{Vase interne};

{Eau froide introduite dans le vase};

{Eau chaude introduite dans le vase}.

Les variations d'énergie interne de chacun des sous-systèmes s'écrivent:

$\Delta U_{Vase} = C_{Vase} \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EF})$ pour le sous-système {vase interne};

$\Delta U_{Eau froide} = m_{EF} \cdot c_E \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EF})$ pour le sous-système {eau froide};

$\Delta U_{Eau chaude} = m_{EC} \cdot c_E \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EC})$ pour le sous-système {eau chaude}.

Pendant l'expérience, on considère que le système {S} vérifie les hypothèses suivantes:

hypothèse 1: les transferts thermiques avec le milieu extérieur sont négligés;

hypothèse 2: les transferts d'énergie sous forme de travail sont également négligés.

Au regard du modèle retenu, la variation d'énergie interne du système {S} s'écrit:

$$\Delta U_S = \Delta U_{Vase} + \Delta U_{Eau froide} + \Delta U_{Eau chaude}$$

$$C_{Vase} = \frac{m_{EC} \cdot c_E \cdot (\theta_{EC} - \theta_{éq})}{\theta_{éq} - \theta_{EF}} - m_{EF} \cdot c_E$$

En réalité, les transferts thermiques entre le système {S} et le milieu extérieur ne sont pas inexistants. En effet, une fois l'équilibre thermique atteint, on constate que la température du système diminue au bout de quelques heures.

Q1.

Identifier le mode de transfert thermique entre le vase interne et l'extérieur que l'usage des ressorts centraux et du support en caoutchouc vise à minimiser.

Q2.

Expliquer l'intérêt de rendre réfléchissantes les surfaces intérieure et extérieure du vase interne.

Q3.

L'espace situé entre la surface intérieure et la surface extérieure du vase interne contient un gaz à très basse pression. Expliquer l'intérêt de ce choix.

On considère dans la suite que: $\theta_{ext} = 19°C$, $\Delta t = 180$ s, et que la résistance thermique entre le système {S} et le milieu extérieur vaut $R = 23\ \mathrm{K\cdot W^{-1}}$.

Q8.

En considérant que le système {S} est à la température de 26°C et que l'air extérieur est à la température 19°C, montrer que le flux thermique, noté $\Phi_{ext}$, du système {S} vers l'extérieur vaut environ 0,3 W.

Q9.

En déduire l'ordre de grandeur de l'énergie $Q_{ext}$ échangée par le système {S} avec le milieu extérieur pendant la durée $\Delta t$ de l'expérience.

Q10.

Comparer $Q_{ext}$ à la variation d'énergie interne $\Delta U_{Eau\,chaude}$ de l'eau chaude introduite dans le vase au cours de l'expérience. Commenter en indiquant si l'hypothèse 1 est justifiée.

Exercice 3 - Étude d'une bouteille isotherme (6 points)

Une bouteille isotherme permet de maintenir un liquide au chaud ou au froid pendant une certaine durée. L'efficacité de la bouteille isotherme dépend des conditions d'utilisation mais aussi de sa constitution.

L'objectif de cet exercice est d'évaluer la capacité thermique du vase interne d'une bouteille isotherme, schématisée en figure 1, et d'en déduire la nature possible du métal qui constitue ce vase.

1. Constitution de la bouteille isotherme et échanges thermiques

Dans les bouteilles isothermes de qualité médiocre, l'espace entre le vase interne et la bouteille extérieure est rempli d'un matériau qui joue le rôle d'isolant thermique (polystyrène par exemple).

Dans le cas de la bouteille isotherme de qualité supérieure étudiée ici et représentée sur la figure 1, le vase interne n'est pas en contact direct avec la paroi de la bouteille extérieure et est maintenu par des ressorts centraux et un support en caoutchouc.

2. Expérience visant à déterminer la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme

On verse une masse d'eau froide $m_{EF} = 300$ g dans la bouteille isotherme. Le vase interne et l'eau froide sont à la température initiale $\theta_{EF} = 15°C$. On complète le contenu de la bouteille avec une masse d'eau chaude $m_{EC} = 100$ g à la température $\theta_{EC} = 60°C$. La bouteille isotherme pleine est rapidement fermée puis agitée légèrement. Après trois minutes, la température d'équilibre thermique est atteinte et vaut $\theta_{éq} = 26°C$.

Données

Capacités thermiques massiques de plusieurs métaux à la pression atmosphérique et à la température de 25°C:

Matériau · Capacité thermique massique (J·kg⁻¹·K⁻¹)

Argent · 235

Acier inoxydable · 450

Titane · 520

Aluminium · 900

on néglige l'influence de l'air piégé après fermeture de la bouteille isotherme;

la température de l'air extérieur et la pression atmosphérique sont constantes pendant la durée des expériences;

la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme est notée $C_{Vase}$;

la capacité thermique massique de l'eau est constante et vaut: $c_E = 4{,}18 \times 10^{3}$ J·kg⁻¹·K⁻¹;

la durée de l'expérience est: $\Delta t = 180$ s;

la température de l'air extérieur vaut: $\theta_{ext} = 19°C$;

la résistance thermique, notée $R$, entre le système {S} et le milieu extérieur vaut approximativement $R = 23$ K·W⁻¹.

On modélise la bouteille isotherme par un système {S} constitué de trois sous-systèmes:

{Vase interne};

{Eau froide introduite dans le vase};

{Eau chaude introduite dans le vase}.

Les variations d'énergie interne de chacun des sous-systèmes s'écrivent:

$\Delta U_{Vase} = C_{Vase} \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EF})$ pour le sous-système {vase interne};

$\Delta U_{Eau froide} = m_{EF} \cdot c_E \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EF})$ pour le sous-système {eau froide};

$\Delta U_{Eau chaude} = m_{EC} \cdot c_E \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EC})$ pour le sous-système {eau chaude}.

Pendant l'expérience, on considère que le système {S} vérifie les hypothèses suivantes:

hypothèse 1: les transferts thermiques avec le milieu extérieur sont négligés;

hypothèse 2: les transferts d'énergie sous forme de travail sont également négligés.

Au regard du modèle retenu, la variation d'énergie interne du système {S} s'écrit:

$$\Delta U_S = \Delta U_{Vase} + \Delta U_{Eau froide} + \Delta U_{Eau chaude}$$

$$C_{Vase} = \frac{m_{EC} \cdot c_E \cdot (\theta_{EC} - \theta_{éq})}{\theta_{éq} - \theta_{EF}} - m_{EF} \cdot c_E$$

En réalité, les transferts thermiques entre le système {S} et le milieu extérieur ne sont pas inexistants. En effet, une fois l'équilibre thermique atteint, on constate que la température du système diminue au bout de quelques heures.

2. Expérience visant à déterminer la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme

On verse une masse d'eau froide $m_{\text{EF}} = 300\text{ g}$ dans la bouteille isotherme. Le vase interne et l'eau froide sont à la température initiale $\theta_{\text{EF}} = 15\text{ }^\circ\text{C}$. On complète le contenu de la bouteille avec une masse d'eau chaude $m_{\text{EC}} = 100\text{ g}$ à la température $\theta_{\text{EC}} = 60\text{ }^\circ\text{C}$. La bouteille isotherme pleine est rapidement fermée puis agitée légèrement. Après trois minutes, la température d'équilibre thermique est atteinte et vaut $\theta_{\text{éq}} = 26\text{ }^\circ\text{C}$.

Q4.

Indiquer en quoi les deux hypothèses faites permettent d'écrire que le premier principe de la thermodynamique appliqué au système $\{S\}$ donne: $\Delta U_S = 0$.

Q5.

En déduire que la capacité thermique $C_{\text{vase}}$ est donnée par la relation:

$$C_{\text{vase}} = \frac{m_{\text{EC}} \cdot c_E \cdot (\theta_{\text{EC}} - \theta_{\text{éq}})}{(\theta_{\text{éq}} - \theta_{\text{EF}})} - m_{\text{EF}} \cdot c_E$$

Q6.

Q7.

Sachant que le vase interne a une masse $m_1 = 100\text{ g}$, déterminer sa capacité thermique massique.