Exercice 3 - Premier principe et bilans d'énergie · Bac Physique-Chimie Métropole 1 remplacement 2024

Exercice 3 - Étude d'une bouteille isotherme (6 points)

Une bouteille isotherme permet de maintenir un liquide au chaud ou au froid pendant une certaine durée. L'efficacité de la bouteille isotherme dépend des conditions d'utilisation mais aussi de sa constitution.

L'objectif de cet exercice est d'évaluer la capacité thermique du vase interne d'une bouteille isotherme, schématisée en figure 1, et d'en déduire la nature possible du métal qui constitue ce vase.

1. Constitution de la bouteille isotherme et échanges thermiques

Dans les bouteilles isothermes de qualité médiocre, l'espace entre le vase interne et la bouteille extérieure est rempli d'un matériau qui joue le rôle d'isolant thermique (polystyrène par exemple).

Dans le cas de la bouteille isotherme de qualité supérieure étudiée ici et représentée sur la figure 1, le vase interne n'est pas en contact direct avec la paroi de la bouteille extérieure et est maintenu par des ressorts centraux et un support en caoutchouc.

2. Expérience visant à déterminer la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme

On verse une masse d'eau froide $m_{EF} = 300$ g dans la bouteille isotherme. Le vase interne et l'eau froide sont à la température initiale $\theta_{EF} = 15°C$. On complète le contenu de la bouteille avec une masse d'eau chaude $m_{EC} = 100$ g à la température $\theta_{EC} = 60°C$. La bouteille isotherme pleine est rapidement fermée puis agitée légèrement. Après trois minutes, la température d'équilibre thermique est atteinte et vaut $\theta_{éq} = 26°C$.

Données

Capacités thermiques massiques de plusieurs métaux à la pression atmosphérique et à la température de 25°C:

Matériau · Capacité thermique massique (J·kg⁻¹·K⁻¹)

Argent · 235

Acier inoxydable · 450

Titane · 520

Aluminium · 900

on néglige l'influence de l'air piégé après fermeture de la bouteille isotherme;

la température de l'air extérieur et la pression atmosphérique sont constantes pendant la durée des expériences;

la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme est notée $C_{Vase}$;

la capacité thermique massique de l'eau est constante et vaut: $c_E = 4{,}18 \times 10^{3}$ J·kg⁻¹·K⁻¹;

la durée de l'expérience est: $\Delta t = 180$ s;

la température de l'air extérieur vaut: $\theta_{ext} = 19°C$;

la résistance thermique, notée $R$, entre le système {S} et le milieu extérieur vaut approximativement $R = 23$ K·W⁻¹.

On modélise la bouteille isotherme par un système {S} constitué de trois sous-systèmes:

{Vase interne};

{Eau froide introduite dans le vase};

{Eau chaude introduite dans le vase}.

Les variations d'énergie interne de chacun des sous-systèmes s'écrivent:

$\Delta U_{Vase} = C_{Vase} \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EF})$ pour le sous-système {vase interne};

$\Delta U_{Eau froide} = m_{EF} \cdot c_E \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EF})$ pour le sous-système {eau froide};

$\Delta U_{Eau chaude} = m_{EC} \cdot c_E \cdot (\theta_{éq} - \theta_{EC})$ pour le sous-système {eau chaude}.

Pendant l'expérience, on considère que le système {S} vérifie les hypothèses suivantes:

hypothèse 1: les transferts thermiques avec le milieu extérieur sont négligés;

hypothèse 2: les transferts d'énergie sous forme de travail sont également négligés.

Au regard du modèle retenu, la variation d'énergie interne du système {S} s'écrit:

$$\Delta U_S = \Delta U_{Vase} + \Delta U_{Eau froide} + \Delta U_{Eau chaude}$$

$$C_{Vase} = \frac{m_{EC} \cdot c_E \cdot (\theta_{EC} - \theta_{éq})}{\theta_{éq} - \theta_{EF}} - m_{EF} \cdot c_E$$

En réalité, les transferts thermiques entre le système {S} et le milieu extérieur ne sont pas inexistants. En effet, une fois l'équilibre thermique atteint, on constate que la température du système diminue au bout de quelques heures.

2. Expérience visant à déterminer la capacité thermique du vase interne de la bouteille isotherme

On verse une masse d'eau froide $m_{\text{EF}} = 300\text{ g}$ dans la bouteille isotherme. Le vase interne et l'eau froide sont à la température initiale $\theta_{\text{EF}} = 15\text{ }^\circ\text{C}$. On complète le contenu de la bouteille avec une masse d'eau chaude $m_{\text{EC}} = 100\text{ g}$ à la température $\theta_{\text{EC}} = 60\text{ }^\circ\text{C}$. La bouteille isotherme pleine est rapidement fermée puis agitée légèrement. Après trois minutes, la température d'équilibre thermique est atteinte et vaut $\theta_{\text{éq}} = 26\text{ }^\circ\text{C}$.

Q4.

Indiquer en quoi les deux hypothèses faites permettent d'écrire que le premier principe de la thermodynamique appliqué au système $\{S\}$ donne: $\Delta U_S = 0$.

Q5.

En déduire que la capacité thermique $C_{\text{vase}}$ est donnée par la relation:

$$C_{\text{vase}} = \frac{m_{\text{EC}} \cdot c_E \cdot (\theta_{\text{EC}} - \theta_{\text{éq}})}{(\theta_{\text{éq}} - \theta_{\text{EF}})} - m_{\text{EF}} \cdot c_E$$

Q6.

Q7.

Sachant que le vase interne a une masse $m_1 = 100\text{ g}$, déterminer sa capacité thermique massique.