Sujet du Bac Physique-Chimie 2024 · Métropole 2 remplacement

Exercice 1 - Vol en montgolfière (11 points)

Inventée à la fin du XVIII e siècle par les frères Montgolfier, la montgolfière est la première machine ayant permis à l'Homme de voler.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'envol d'une montgolfière ainsi que les transferts thermiques à travers son enveloppe.

1. L'envol de la montgolfière

Une montgolfière se compose de trois parties principales: une enveloppe dont le volume est considéré constant, un système de chauffage (brûleur avec réservoir de carburant) et une nacelle.

On étudie dans cette partie l'envol de la montgolfière dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans cette modélisation, les seules forces prises en compte sont le poids de la montgolfière et la poussée d'Archimède exercée par l'air ambiant sur celle-ci.

Données:

masses molaires atomiques: $M(\mathrm{O}) = 16 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$, $M(\mathrm{N}) = 14 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$;

intensité de la pesanteur terrestre supposée constante: $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$;

l'air, assimilé à un gaz parfait, est composé, en quantité de matière, de $80\ \%$ de diazote $\mathrm{N_2}$ et de $20\ \%$ de dioxygène $\mathrm{O_2}$;

constante des gaz parfaits: $R = 8{,}31\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$;

conversion d'une température $\theta$ exprimée en degré Celsius en une température $T$ en Kelvin: $T(\mathrm{K}) = \theta(^\circ\mathrm{C}) + 273\ ^\circ\mathrm{C}$;

la poussée d'Archimède $\vec{\pi}_\mathrm{A}$ est une force, verticale et dirigée vers le haut, que subit tout objet plongé dans un fluide. Pour un objet de volume $V$ totalement immergé dans un fluide de masse volumique $\rho$, la valeur $\pi_\mathrm{A}$ de la poussée d'Archimède a pour expression: $$\pi_\mathrm{A} = \rho \cdot V \cdot g$$

caractéristiques de l'air extérieur au niveau du sol: masse volumique: $\rho_\mathrm{ext} = 1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$;

température: $\theta_\mathrm{ext} = 21\ ^\circ\mathrm{C}$;

pression atmosphérique: $p_\mathrm{atm} = 1{,}0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$;

la montgolfière étudiée est constituée d'une enveloppe de volume $V$ invariable égal à $2{,}5 \times 10^3\ \mathrm{m^3}$ et d'une nacelle de volume négligeable par rapport à celui de l'enveloppe;

la masse $m_\mathrm{ens}$ de l'ensemble comprenant la nacelle, l'enveloppe, le système de chauffage et les passagers est égale à $500\ \mathrm{kg}$.

Q1.

Montrer que la valeur de la masse molaire $M_{\text{air}}$ de l'air est voisine de $29 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Q2.

En exploitant l'équation d'état des gaz parfaits, exprimer littéralement la masse $m_{\text{int}}$ de l'air contenu à l'intérieur de l'enveloppe en fonction de la pression $p_{\text{int}}$ de l'air à l'intérieur, du volume $V$ de l'enveloppe, de la masse molaire $M_{\text{air}}$ de l'air, de la constante $R$ des gaz parfaits et de la température $T_{\text{int}}$ de l'air situé à l'intérieur de l'enveloppe.

Q3.

Exprimer le poids total du système {montgolfière + air intérieur}, noté $P_{\text{total}}$, en fonction des masses $m_{\text{ens}}$ et $m_{\text{int}}$.

Q4.

Calculer la valeur de la poussée d'Archimède $\pi_{\text{A}}$ qui s'exerce sur le système {montgolfière + air intérieur}, au niveau du sol.

Q5.

Montrer que l'expression de la valeur de la température minimale $T_{\text{min}}$ de l'air à l'intérieur de l'enveloppe pour que la montgolfière puisse décoller est:

$$T_{\text{min}} = \frac{p_{\text{int}} \cdot V \cdot M_{\text{air}}}{R \cdot \left( \dfrac{\pi_{\text{A}}}{g} - m_{\text{ens}} \right)}$$

Calculer la valeur de $T_{\text{min}}$. On admet que la pression $p_{\text{int}}$ de l'air à l'intérieur de l'enveloppe est égale à la pression atmosphérique $p_{\text{atm}} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}$.

Alors que la montgolfière est retenue au sol par des sangles, le pilote actionne les brûleurs afin que la température de l'air intérieur de l'enveloppe soit supérieure à la température $T_{\text{min}}$.

À la date $t = 0$, les sangles sont détachées et la montgolfière, initialement immobile, commence son ascension verticale, comme représenté à la figure 1. À cet instant, la valeur de la poussée d'Archimède exercée sur le système est égale à $\pi_{\text{A}} = 2{,}9 \times 10^4\text{ N}$ et la masse totale du système {montgolfière + air intérieur} est $m_{\text{tot}} = 2{,}8 \times 10^3\text{ kg}$.

Dans une modélisation simplifiée, on ne tient compte que de la poussée d'Archimède et du poids pour étudier le mouvement du ballon. On suppose également que les valeurs de ces forces restent inchangées au cours du temps.

Q6.

Déterminer la valeur de l'accélération du système {montgolfière + air intérieur}. Calculer ensuite la valeur de sa vitesse au bout de 10 s puis au bout de 1 minute d'ascension.

Q7.

Commenter les résultats obtenus à la question précédente et proposer une piste d'amélioration du modèle. On pourra s'appuyer sur les vitesses exprimées en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$.

Exercice 1 - Vol en montgolfière (11 points)

Inventée à la fin du XVIII e siècle par les frères Montgolfier, la montgolfière est la première machine ayant permis à l'Homme de voler.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'envol d'une montgolfière ainsi que les transferts thermiques à travers son enveloppe.

1. L'envol de la montgolfière

Une montgolfière se compose de trois parties principales: une enveloppe dont le volume est considéré constant, un système de chauffage (brûleur avec réservoir de carburant) et une nacelle.

On étudie dans cette partie l'envol de la montgolfière dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans cette modélisation, les seules forces prises en compte sont le poids de la montgolfière et la poussée d'Archimède exercée par l'air ambiant sur celle-ci.

Données:

masses molaires atomiques: $M(\mathrm{O}) = 16 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$, $M(\mathrm{N}) = 14 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$;

intensité de la pesanteur terrestre supposée constante: $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$;

l'air, assimilé à un gaz parfait, est composé, en quantité de matière, de $80\ \%$ de diazote $\mathrm{N_2}$ et de $20\ \%$ de dioxygène $\mathrm{O_2}$;

constante des gaz parfaits: $R = 8{,}31\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$;

conversion d'une température $\theta$ exprimée en degré Celsius en une température $T$ en Kelvin: $T(\mathrm{K}) = \theta(^\circ\mathrm{C}) + 273\ ^\circ\mathrm{C}$;

la poussée d'Archimède $\vec{\pi}_\mathrm{A}$ est une force, verticale et dirigée vers le haut, que subit tout objet plongé dans un fluide. Pour un objet de volume $V$ totalement immergé dans un fluide de masse volumique $\rho$, la valeur $\pi_\mathrm{A}$ de la poussée d'Archimède a pour expression: $$\pi_\mathrm{A} = \rho \cdot V \cdot g$$

caractéristiques de l'air extérieur au niveau du sol: masse volumique: $\rho_\mathrm{ext} = 1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$;

température: $\theta_\mathrm{ext} = 21\ ^\circ\mathrm{C}$;

pression atmosphérique: $p_\mathrm{atm} = 1{,}0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$;

la montgolfière étudiée est constituée d'une enveloppe de volume $V$ invariable égal à $2{,}5 \times 10^3\ \mathrm{m^3}$ et d'une nacelle de volume négligeable par rapport à celui de l'enveloppe;

la masse $m_\mathrm{ens}$ de l'ensemble comprenant la nacelle, l'enveloppe, le système de chauffage et les passagers est égale à $500\ \mathrm{kg}$.

2. Une enveloppe de montgolfière plus performante

Des entreprises spécialisées dans la conception des montgolfières ont développé une nouvelle gamme d'enveloppes. Contrairement aux enveloppes traditionnelles, constituées d'une simple couche de nylon, les nouveaux modèles d'enveloppes sont constitués d'une double couche de nylon. Entre les deux épaisseurs de nylon, une couche d'air permet de limiter le transfert thermique vers l'extérieur de l'enveloppe. La consommation de carburant est ainsi réduite.

Données:

Résistance thermique d'une enveloppe simple couche: $R_{\text{th},1} = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}$

Flux thermique $\Phi_1$ à travers l'enveloppe simple couche: $$\Phi_1 = \frac{\theta_{\text{int}} - \theta_{\text{ext}}}{R_{\text{th},1}}$$

Températures: $\theta_{\text{ext}} = 21\text{ }^\circ\text{C}$ (air extérieur) et $\theta_{\text{int}} = 106\text{ }^\circ\text{C}$ (air intérieur)

Q8.

Préciser, en justifiant, le sens du flux thermique à travers l'enveloppe simple couche du ballon.

Q9.

Calculer la valeur du flux thermique $\Phi_1$ à travers une enveloppe simple couche.

Q10.

Le flux thermique $\Phi_2$ à travers l'enveloppe à double paroi est $\Phi_2 = 165\text{ kW}$. Commenter.

3. Une gourde en aluminium à bord de la montgolfière

Le pilote de la montgolfière emporte avec lui une gourde en aluminium contenant une boisson chaude. On étudie en laboratoire l'évolution temporelle de la température du système {gourde + boisson} et on modélise le transfert thermique entre ce système et l'extérieur par la loi de Newton, rappelée dans les données ci-dessous.

La température du système à la date $t$ est notée $\theta(t)$. À la date $t = 0$ correspondant au début de l'expérience, la température du système est $\theta_0 = 48\text{ }^\circ\text{C}$.

Données:

Capacité thermique du système étudié: $C = 2{,}1 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}$

Surface totale de la gourde exposée à l'air: $S = 0{,}042\text{ m}^2$

Température de l'air extérieur (constante): $\theta_{\text{ext}} = 21\text{ }^\circ\text{C}$

Loi de Newton: flux thermique $\Phi$ reçu par le système: $$\Phi = h \cdot S \cdot (\theta_{\text{ext}} - \theta(t))$$ où $h$ est le coefficient d'échange thermique surfacique.

Q11.

On considère deux instants voisins $t$ et $t + \Delta t$, la durée $\Delta t$ est supposée faible devant une durée caractéristique d'évolution de la température du système. Montrer que la température du système vérifie la relation: $$\theta(t+\Delta t) - \theta(t) = \frac{h \cdot S \cdot (\theta_{\text{ext}} - \theta(t)) \cdot \Delta t}{C}$$

À partir du résultat précédent, on montre que la température $\theta(t)$ du système lors de son refroidissement vérifie l'équation différentielle suivante: $$\frac{\mathrm{d}\theta(t)}{\mathrm{d}t} + \frac{\theta(t)}{\tau} = \frac{\theta_{\text{ext}}}{\tau}$$ avec $\tau = \frac{C}{h \cdot S}$ le temps caractéristique du système. L'équation différentielle précédente admet des solutions générales de la forme $\theta(t) = A \cdot \text{e}^{-\frac{t}{\tau}} + B$.

Q12.

Déterminer les expressions littérales des constantes $A$ et $B$ en fonction de $\theta_0$ et $\theta_{\text{ext}}$ puis calculer leurs valeurs. Commenter.

Q13.

Déterminer la valeur du temps caractéristique $\tau$ à partir de la modélisation numérique de la figure 2.

Q14.

En déduire la valeur du coefficient $h$ d'échange thermique surfacique, puis commenter le résultat obtenu avec les valeurs données dans le tableau ci-dessous.

Conditions environnementales · Coefficient d'échange thermique surfacique entre l'air et une paroi solide en $\text{W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}$

Sans courant d'air · de 5 à 10

Avec courant d'air · de 10 à 500

D'après le cours de P.-Y. Lagrée, Coefficient d'échange, Ailettes

Le varroa est un acarien qui s'attaque aux colonies d'abeilles. L'apiculteur freine la croissance de la population de varroas grâce à un traitement à base d'acide oxalique, laissé goutte à goutte dans la ruche. L'objectif de cet exercice est de vérifier qu'une solution d'acide oxalique préparée pour traiter une ruche est conforme aux recommandations d'utilisation.

Données

Formule brute de l'acide oxalique: $C_2H_2O_4$

Masse molaire de l'acide oxalique dihydraté ($C_2H_2O_4$, $2H_2O$): $M = 126$ g·mol⁻¹

p$K_A$ des couples acide-base associés à l'acide oxalique, à 25°C:

$C_2H_2O_4(aq)/C_2HO_4^-(aq)$: p$K_{A1} = 1{,}3$

$C_2HO_4^-(aq)/C_2O_4^{2-}(aq)$: p$K_{A2} = 4{,}3$

Recommandations de l'apiculteur:

[CONTEXTO:none] Masse d'acide oxalique dihydraté pour 1 L de solution sucrée · 30 g · 35 g · 45 g · 60 g

Efficacité contre le varroa · Médiocre · Bonne · Bonne · Excellente

Tolérance des abeilles · Bien tolérée · Correctement tolérée · Mal tolérée · Très mal tolérée

D'après le centre suisse des recherches apicoles 2001

À partir d'une solution S commerciale sucrée d'acide oxalique, on prépare une solution $S_1$ en diluant 10 fois la solution S.

On dose par titrage avec suivi pH-métrique un volume $V = 20{,}0$ mL de solution diluée $S_1$ par une solution aqueuse titrante d'hydroxyde de sodium de concentration $c = 1{,}0\times 10^{-1}$ mol·L⁻¹. La figure 1 ci-dessous présente l'évolution du pH du milieu réactionnel en fonction du volume versé de solution titrante.

Q1.

Proposer une formule développée de la molécule d'acide oxalique sachant qu'elle comporte deux fonctions acide carboxylique.

Q2.

Rédiger un protocole expérimental permettant de préparer un volume de 100,0 mL de solution $S_1$ à partir de la solution S en justifiant la verrerie choisie.

Q3.

Schématiser et légender le montage du dosage par titrage avec suivi pH-métrique de la solution diluée $S_1$ par une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium.

À l'aide d'un programme informatique, il est possible de tracer l'évolution des quantités de matière des différentes formes de l'acide oxalique au cours du titrage. La figure 2 ci-dessous en propose une représentation.

Q4.

À l'aide d'un diagramme de prédominance, déterminer, en justifiant, la forme acide-base associée à l'acide oxalique qui est présente en plus grande quantité dans la solution diluée $S_1$ avant l'ajout de la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium.

Q5.

Attribuer, en justifiant, chaque courbe n1, n2 et n3 à la forme acido-basique correspondante de l'acide oxalique.

Q6.

En utilisant les figures 1 et 2, expliquer comment on peut retrouver la valeur du p$K_{A2}$.

La transformation chimique mise en jeu lors du titrage est modélisée par la réaction d'équation:

$C_2H_2O_4(aq) + 2OH^-(aq) \rightarrow C_2O_4^{2-}(aq) + 2H_2O(\ell)$

Q7.

Exploiter les résultats du titrage pour déterminer la valeur de la concentration en masse en acide oxalique dihydraté de la solution commerciale S. Commenter en vous appuyant sur les recommandations d'utilisation de l'acide oxalique pour un traitement des ruches par goutte à goutte.

g·L⁻¹

Exercice 3 - Suivi cinétique d'une décoloration (5 points)

La phénolphtaléine est une substance utilisée en chimie pour ses propriétés colorantes et acido-basiques. Elle est souvent choisie comme indicateur de pH, notamment pour repérer l'équivalence de certains titrages.

Les espèces associées à la phénolphtaléine en solution aqueuse sont représentées ci-dessous:

Les transformations mettant en jeu les espèces $\mathrm{H_2P}$ et $\mathrm{P^{2-}}$ étant instantanées, la phénolphtaléine est utilisée pour distinguer un milieu basique (rose) d'un milieu acide (incolore).

Mis en milieu très basique ($\mathrm{pH} > 12$), les ions $\mathrm{P^{2-}}$ réagissent lentement avec les ions hydroxyde $\mathrm{OH^-}$ pour former des ions $\mathrm{POH^{3-}}$ selon l'équation ci-après. Cette réaction s'accompagne d'une décoloration progressive de la solution rose de phénolphtaléine, ce qui peut être potentiellement gênant lors des titrages.

$$\mathrm{P^{2-}(aq) + OH^-(aq) \rightarrow POH^{3-}(aq)}$$

L'objectif de cet exercice est d'étudier la cinétique de la réaction associée à cette décoloration en milieu très basique.

Données:

produit ionique de l'eau à $25\,^\circ\mathrm{C}$: $K_e = 1{,}0 \times 10^{-14}$;

concentration standard: $c^\circ = 1{,}0\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

ci-contre, pictogramme de sécurité de la phénolphtaléine sous forme solide ou en solution de concentration supérieure à $3 \times 10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

Protocole du suivi cinétique de la décoloration: dans un bécher, introduire $30\ \mathrm{mL}$ d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium de concentration $C = 0{,}50\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

déclencher le chronomètre (instant $t = 0$) lorsque l'on introduit dans le bécher $0{,}50\ \mathrm{mL}$ d'une solution basique de phénolphtaléine de concentration en ions $\mathrm{P^{2-}}$ égale à $1{,}6 \times 10^{-3}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$;

mélanger rapidement, transvaser dans une cuve spectrophotométrique. Relever l'absorbance du milieu à une longueur d'onde appropriée toutes les 10 secondes pendant quinze minutes.

Dans cette expérience, on considère que les ions hydroxyde $\mathrm{OH^-}$ apportés par la solution d'hydroxyde de sodium sont en large excès par rapport aux ions $\mathrm{P^{2-}}$. On considère que leur concentration reste constante pendant toute la durée de l'expérience: $[\mathrm{OH^-}](t) = C = 0{,}50\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

1. Étude des conditions initiales

Q1.

Préciser la signification du pictogramme de sécurité associé à la phénolphtaléine. Justifier l'un des critères de choix des conditions expérimentales.

Q2.

Estimer la valeur du pH de la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium utilisée dans l'expérience. Commenter.

Q3.

Montrer que, une fois que la solution de phénolphtaléine a été introduite dans la solution d'hydroxyde de sodium à la date $t = 0$, la concentration des ions $\mathrm{P^{2-}}$ est $[\mathrm{P^{2-}}]_0 = 2{,}6 \times 10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

2. Étude cinétique de la décoloration

Les résultats expérimentaux permettent de tracer l'évolution de la vitesse de disparition de l'ion $\mathrm{P^{2-}}$ en fonction de sa concentration (figure 1).

On fait l'hypothèse que l'évolution de la concentration suit une loi de vitesse d'ordre 1.

Q4.

Expliquer en quoi les résultats expérimentaux donnés en figure 1 sont compatibles avec cette hypothèse.

Dans ce cadre, la concentration en ions $\mathrm{P^{2-}}$ à l'instant $t$, notée $[\mathrm{P^{2-}}](t)$, est régie par l'équation différentielle: $$\frac{\mathrm{d}[\mathrm{P^{2-}}](t)}{\mathrm{d}t} = -k \cdot [\mathrm{P^{2-}}](t)$$

Q5.

Déterminer le coefficient $k$ à l'aide du graphique de la figure 1.

La figure 2 présente l'évolution temporelle de la concentration de la forme $\mathrm{P^{2-}}$ de la phénolphtaléine.

Q6.

Déterminer, à l'aide de la figure 2, la valeur de la vitesse volumique de disparition $v_d$ de la forme $\mathrm{P^{2-}}$ de la phénolphtaléine à la date $t = 200\ \mathrm{s}$. On fera apparaître la construction effectuée sur le graphique.

Q7.

Indiquer, en justifiant la réponse, l'évolution de cette vitesse au cours du temps.

Q8.

Définir le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ et estimer sa valeur dans le cas de cette transformation chimique, considérée totale.

La concentration en ions $\mathrm{P^{2-}}$ de la phénolphtaléine suit la loi d'équation: $[\mathrm{P^{2-}}](t) = [\mathrm{P^{2-}}]_0 \cdot e^{-kt}$, où $k$ correspond à la constante déterminée à la question Q5.

Q9.

Déterminer la relation entre $k$ et $t_{1/2}$.

Q10.

Comparer la valeur de $t_{1/2}$ obtenue avec cette relation avec la valeur trouvée à la question Q8. Commenter.

Q11.

Commenter la valeur de $t_{1/2}$ obtenue au regard de l'utilisation de la phénolphtaléine comme indicateur coloré de certains titrages de solutions acides.