Exercice 2 - Mouvement dans un champ de gravitation · Bac Physique-Chimie Métropole 1 remplacement 2024

Exercice 2 - La découverte de Neptune (5 points)

Suite à la découverte de la planète Uranus en 1781 et à l'étude de sa trajectoire, certains astronomes supposèrent l'existence d'une autre planète qui influencerait son mouvement. En 1846, le français Urbain Le Verrier parvint à proposer, par le calcul, des caractéristiques de cette nouvelle planète. Grâce aux indications de Le Verrier et à l'aide de la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin, l'astronome Johann Galle repéra dès ses premières nuits d'observation le nouvel astre qui porte depuis le nom de Neptune.

Le but de cet exercice est d'analyser certaines prévisions de Le Verrier puis d'étudier l'observation de Neptune avec la lunette astronomique de l'observatoire de Berlin.

1. Les caractéristiques de Neptune selon les prévisions de Le Verrier

Données:

conversion d'une distance exprimée en mètre (m) en une distance exprimée en unité astronomique (UA): 1 UA = $1{,}50\times 10^{11}$ m;

valeurs de référence actuellement admises pour quelques paramètres planétaires: demi-grand axe de l'orbite de la planète Uranus: $a_{RéfU} = 19{,}2$ UA;

période de révolution de la planète Uranus autour du Soleil: $T_{RéfU} = 84{,}1$ ans;

période de révolution de la planète Neptune autour du Soleil: $T_{RéfN} = 165$ ans;

la planète Neptune est plus éloignée du Soleil que la planète Uranus;

pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\dfrac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Sur la figure 1 ci-dessous, ont été représentés l'orbite elliptique d'une planète autour du Soleil ainsi que le demi-grand axe $a$ de cette orbite.

On peut montrer que pour tous les objets en orbite elliptique autour du Soleil, le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est le même.

Dans son mémoire présenté en 1846, Le Verrier indique que, selon ses calculs, Neptune a une orbite elliptique de demi-grand axe $a_{VerrierN} = 36{,}2$ UA.

Données

1 UA

$1{,}50\times 10^{11}$ m

$a_{RéfU}$

19,2 UA

$T_{RéfU}$

84,1 ans

$T_{RéfN}$

165 ans

Neptune est plus éloignée du Soleil qu'Uranus. Pour discuter de l'accord d'une mesure avec une valeur de référence, on utilise le quotient $\dfrac{|x - x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur mesurée, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée.

Q1.

Nommer la position particulière occupée par le Soleil pour l'ellipse représentée en figure 1. Préciser le nom de l'astronome connu pour avoir établi ce résultat.

On peut montrer que pour tous les objets en orbite elliptique autour du Soleil, le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ entre le carré de la période de révolution $T$ et le cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite est le même.

Q2.

Justifier que la période de révolution de Neptune est plus grande que celle d'Uranus.

Dans son mémoire présenté en 1846, Le Verrier indique que, selon ses calculs, Neptune a une orbite elliptique de demi-grand axe $a_{VerrierN} = 36{,}2$ UA.

Q3.

Déterminer à l'aide de $a_{RéfU}$, $T_{RéfU}$ et $a_{VerrierN}$ la valeur en années de la période de révolution $T_{VerrierN}$ de la planète Neptune pour l'orbite prévue par Le Verrier.

Grâce au mémoire de Le Verrier, il est possible d'estimer l'incertitude-type $u(T_{VerrierN})$ associée à la valeur $T_{VerrierN}$ obtenue en Q3: $u(T_{VerrierN}) = 13$ ans.

Q4.

Discuter de l'accord du résultat de $T_{VerrierN}$ avec la valeur de référence actuelle $T_{RéfN}$.

Le Verrier a mené ses calculs en étudiant les perturbations exercées par Uranus sur Neptune. L'orbite d'Uranus n'était pas encore décrite avec précision au début du XIXe siècle. Le Verrier a donc été contraint à plusieurs approximations, ce qui explique la différence obtenue sur la trajectoire calculée pour Neptune comme en témoigne la figure 2.

Figure 2. Orbites d'Uranus et de Neptune (le schéma n'est pas à l'échelle)

D'après La découverte de Neptune par Le Verrier (1846), James Lequeux

Q5.

À l'aide de la figure 2, comparer de manière qualitative la valeur du demi-grand axe de l'orbite prédite par Le Verrier avec la valeur du demi-grand axe de l'orbite réelle de Neptune. Montrer la cohérence de la réponse avec les résultats de la question Q3.