Exercice 2 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2022

Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.

Une étude a montré que 70% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60% visitent la grotte.

Cette étude montre aussi que 6% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.

On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note:

$M$ l'événement: « le client visite le musée »;

$G$ l'événement: « le client visite la grotte ».

On note $\overline{M}$ l'événement contraire de $M$, $\overline{G}$ l'événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d'après l'énoncé, on a: $p(\overline{M} \cap \overline{G}) = 0{,}06$.

1.

a.

Vérifier que $p_{\overline{M}}(\overline{G}) = 0{,}2$, où $p_{\overline{M}}(\overline{G})$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée.

b.

L'arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.

c.

Quelle est la probabilité de l'événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?

d.

Montrer que $p(G) = 0{,}66$.

2.

Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?